Algèbre linéaire Exemples

$5 [\begin{array}{c} x & y \\ y & z \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 2 x & - y \\ 3 y & - 4 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 45 & 12 - y \\ 33 & 15 \end{array}]$

Step 1

Le noyau d’une transformation est un vecteur qui rend cette transformation égale au vecteur nul (la préimage de la transformation).

$[\begin{array}{c} 45 & 12 - y \\ 33 & 15 \end{array}] = 0$

Step 2

Créez un système d’équations à partir de l’équation vectorielle.

$45 = 0$

$33 = 0$

Step 3

Soustrayez $45$ des deux côtés de l’équation.

$0 = - 45$

$33 = 0$

Step 4

Soustrayez $33$ des deux côtés de l’équation.

$0 = - 33$

$0 = - 45$

Step 5

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} - 45 \\ - 33 \end{array}]$

Step 6

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite de la matrice.

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Réalisez l’opération ligne $R_{1} = - \frac{1}{45} R_{1}$ sur $R_{1}$ (ligne $1$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en $1$ .

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Remplacez $R_{1}$ (ligne $1$ ) par l’opération ligne $R_{1} = - \frac{1}{45} R_{1}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{45} R_{1} \\ - 33 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{45} R_{1}$

Remplacez $R_{1}$ (ligne $1$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne $R_{1} = - \frac{1}{45} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{45}) \cdot (- 45) \\ - 33 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{45} R_{1}$

Simplifiez $R_{1}$ (ligne $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 33 \end{array}]$

Réalisez l’opération ligne $R_{2} = 33 \cdot R_{1} + R_{2}$ sur $R_{2}$ (ligne $2$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en $0$ .

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Remplacez $R_{2}$ (ligne $2$ ) par l’opération ligne $R_{2} = 33 \cdot R_{1} + R_{2}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 33 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = 33 \cdot R_{1} + R_{2}$

Remplacez $R_{2}$ (ligne $2$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne $R_{2} = 33 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ (33) \cdot (1) - 33 \end{array}]$

$R_{2} = 33 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifiez $R_{2}$ (ligne $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]$

Step 7

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$0 = 1$

Step 8

Cette expression est l’ensemble de solutions pour le système d’équations.

${}$

Step 9

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Step 10

L’espace nul de l’ensemble est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

Step 11

Le noyau de $M$ est le sous-espace ${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$ .

$K (M) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$