Algèbre linéaire Exemples

$(\frac{6}{6 + i}) (\frac{6 - i}{6 - i})$

Étape 1

Annulez le facteur commun de $6 - i$ .

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Étape 1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{6 + i} \cdot \frac{6 - i}{6 - i}$

Étape 1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{6 + i} \cdot 1$

Étape 2

Multipliez $\frac{6}{6 + i}$ par $1$ .

$\frac{6}{6 + i}$

Étape 3

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{6}{6 + 1 i}$ par le conjugué de $6 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{6}{6 + 1 i} \cdot \frac{6 - i}{6 - i}$

Étape 4

Multipliez.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{6 (6 - i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 6 + 6 (- i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Étape 4.2.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{36 + 6 (- i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Développez $(6 + 1 i) (6 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{36 - 6 i}{6 (6 - i) + 1 i (6 - i)}$

Étape 4.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{36 - 6 i}{6 \cdot 6 + 6 (- i) + 1 i (6 - i)}$

Étape 4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{36 - 6 i}{6 \cdot 6 + 6 (- i) + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 6 (- i) + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i + 1 i (- i)}$

Étape 4.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i i}$

Étape 4.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - (i^{1} i)}$

Étape 4.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 4.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i^{1 + 1}}$

Étape 4.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i^{2}}$

Étape 4.3.2.9

Additionnez $- 6 i$ et $6 i$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 0 - i^{2}}$

Étape 4.3.2.10

Additionnez $36$ et $0$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - i^{2}}$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - - 1}$

Étape 4.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 1}$

Étape 4.3.4

Additionnez $36$ et $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{37}$

Étape 5

Divisez la fraction $\frac{36 - 6 i}{37}$ en deux fractions.

$\frac{36}{37} + \frac{- 6 i}{37}$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{36}{37} - \frac{6 i}{37}$

Étape 7

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 8

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 9

Remplacez les valeurs réelles de $a = \frac{36}{37}$ et $b = - \frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{6}{37})}^{2} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Étape 10

Déterminez $| z |$ .

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Étape 10.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 10.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{6}{37})}^{2} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Étape 10.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{6^{2}}{37^{2}}) + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Étape 10.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{6^{2}}{37^{2}}) + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $\frac{6^{2}}{37^{2}}$ par $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{6^{2}}{37^{2}} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Étape 10.2.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{37^{2}} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Étape 10.2.4

Élevez $37$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Étape 10.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{36}{37}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{36^{2}}{37^{2}}}$

Étape 10.2.6

Élevez $36$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{1296}{37^{2}}}$

Étape 10.2.7

Élevez $37$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{1296}{1369}}$

Étape 10.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$| z | = \sqrt{\frac{36 + 1296}{1369}}$

Étape 10.2.9

Additionnez $36$ et $1296$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1332}{1369}}$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun à $1332$ et $1369$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $37$ à partir de $1332$ .

$| z | = \sqrt{\frac{37 (36)}{1369}}$

Étape 10.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $37$ à partir de $1369$ .

$| z | = \sqrt{\frac{37 \cdot 36}{37 \cdot 37}}$

Étape 10.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{\frac{37 \cdot 36}{37 \cdot 37}}$

Étape 10.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{\frac{36}{37}}$

Étape 10.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{36}{37}}$ comme $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{37}}$

Étape 10.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.5.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{6^{2}}}{\sqrt{37}}$

Étape 10.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = \frac{6}{\sqrt{37}}$

Étape 10.6

Multipliez $\frac{6}{\sqrt{37}}$ par $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{6}{\sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$

Étape 10.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.7.1

Multipliez $\frac{6}{\sqrt{37}}$ par $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Étape 10.7.2

Élevez $\sqrt{37}$ à la puissance $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Étape 10.7.3

Élevez $\sqrt{37}$ à la puissance $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Étape 10.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1 + 1}}$

Étape 10.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{2}}$

Étape 10.7.6

Réécrivez ${\sqrt{37}}^{2}$ comme $37$ .

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Étape 10.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{37}$ comme $37^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{(37^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 10.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 10.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

Étape 10.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

Étape 11

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{6}{37}}{\frac{36}{37}})$

Étape 12

Comme la tangente inverse de $\frac{- \frac{6}{37}}{\frac{36}{37}}$ produit un angle dans le quatrième quadrant, la valeur de l’angle est $- 0.16514867$ .

$θ = - 0.16514867$

Étape 13

Remplacez les valeurs de $θ = - 0.16514867$ et $| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$ .

$\frac{6 \sqrt{37}}{37 (\cos (- 0.16514867) + i \sin (- 0.16514867))}$