Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} - 9 & 8 \\ 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} - 34^{n} & 0 \\ 0 & 34^{n} \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{17} & \frac{8}{17} \\ \frac{1}{17} & \frac{9}{17} \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $[\begin{array}{c} - 9 & 8 \\ 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} - 34^{n} & 0 \\ 0 & 34^{n} \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} - 9 (- 34^{n}) + 8 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 + 8 \cdot 34^{n} \\ 1 (- 34^{n}) + 1 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 1 \cdot 34^{n} \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{17} & \frac{8}{17} \\ \frac{1}{17} & \frac{9}{17} \end{array}]$

Étape 1.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 9 \cdot 34^{n} & 8 \cdot 34^{n} \\ - 34^{n} & 34^{n} \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{17} & \frac{8}{17} \\ \frac{1}{17} & \frac{9}{17} \end{array}]$

Étape 2

Multipliez $[\begin{array}{c} 9 \cdot 34^{n} & 8 \cdot 34^{n} \\ - 34^{n} & 34^{n} \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{17} & \frac{8}{17} \\ \frac{1}{17} & \frac{9}{17} \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Étape 2.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 9 \cdot 34^{n} (- \frac{1}{17}) + 8 \cdot 34^{n} \frac{1}{17} & 9 \cdot 34^{n} \frac{8}{17} + 8 \cdot 34^{n} \frac{9}{17} \\ - 34^{n} (- \frac{1}{17}) + 34^{n} \frac{1}{17} & - 34^{n} \frac{8}{17} + 34^{n} \frac{9}{17} \end{array}]$

Étape 2.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} - \frac{34^{n}}{17} & \frac{144 \cdot 34^{n}}{17} \\ \frac{2 \cdot 34^{n}}{17} & \frac{34^{n}}{17} \end{array}]$

Étape 3

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- \frac{34^{n}}{17} \cdot \frac{34^{n}}{17} - \frac{2 \cdot 34^{n}}{17} \cdot \frac{144 \cdot 34^{n}}{17}$

Étape 4

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- \frac{34^{n}}{17} \cdot \frac{34^{n}}{17}$ .

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Étape 4.1.1.1

Multipliez $\frac{34^{n}}{17}$ par $\frac{34^{n}}{17}$ .

$- \frac{34^{n} \cdot 34^{n}}{17 \cdot 17} - \frac{2 \cdot 34^{n}}{17} \cdot \frac{144 \cdot 34^{n}}{17}$

Étape 4.1.1.2

Multipliez $34^{n}$ par $34^{n}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{34^{n + n}}{17 \cdot 17} - \frac{2 \cdot 34^{n}}{17} \cdot \frac{144 \cdot 34^{n}}{17}$

Étape 4.1.1.2.2

Additionnez $n$ et $n$ .

$- \frac{34^{2 n}}{17 \cdot 17} - \frac{2 \cdot 34^{n}}{17} \cdot \frac{144 \cdot 34^{n}}{17}$

Étape 4.1.1.3

Multipliez $17$ par $17$ .

$- \frac{34^{2 n}}{289} - \frac{2 \cdot 34^{n}}{17} \cdot \frac{144 \cdot 34^{n}}{17}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- \frac{2 \cdot 34^{n}}{17} \cdot \frac{144 \cdot 34^{n}}{17}$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $\frac{144 \cdot 34^{n}}{17}$ par $\frac{2 \cdot 34^{n}}{17}$ .

$- \frac{34^{2 n}}{289} - \frac{144 \cdot 34^{n} (2 \cdot 34^{n})}{17 \cdot 17}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $2$ par $144$ .

$- \frac{34^{2 n}}{289} - \frac{288 \cdot 34^{n} \cdot 34^{n}}{17 \cdot 17}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $34^{n}$ par $34^{n}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.3.1

Déplacez $34^{n}$ .

$- \frac{34^{2 n}}{289} - \frac{288 \cdot (34^{n} \cdot 34^{n})}{17 \cdot 17}$

Étape 4.1.2.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{34^{2 n}}{289} - \frac{288 \cdot 34^{n + n}}{17 \cdot 17}$

Étape 4.1.2.3.3

Additionnez $n$ et $n$ .

$- \frac{34^{2 n}}{289} - \frac{288 \cdot 34^{2 n}}{17 \cdot 17}$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $17$ par $17$ .

$- \frac{34^{2 n}}{289} - \frac{288 \cdot 34^{2 n}}{289}$

Étape 4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 34^{2 n} - 288 \cdot 34^{2 n}}{289}$

Étape 4.3

Soustrayez $288 \cdot 34^{2 n}$ de $- 34^{2 n}$ .

$\frac{- 289 \cdot 34^{2 n}}{289}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $- 289$ et $289$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $289$ à partir de $- 289 \cdot 34^{2 n}$ .

$\frac{289 (- 34^{2 n})}{289}$

Étape 4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $289$ à partir de $289$ .

$\frac{289 (- 34^{2 n})}{289 (1)}$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{289 (- 34^{2 n})}{289 \cdot 1}$

Étape 4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 34^{2 n}}{1}$

Étape 4.4.2.4

Divisez $- 34^{2 n}$ par $1$ .

$- 34^{2 n}$