Algèbre linéaire Exemples

[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 x & y & z \end{matrix}] ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & x 2 & y 3 & z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & x \\ 2 & y \\ 3 & z \end{array}]$

Étape 1

Multipliez

[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 x & y & z \end{matrix}] ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & x 2 & y 3 & z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & x \\ 2 & y \\ 3 & z \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

2 \times 3

$2 \times 3$ and the second matrix is

3 \times 2

$3 \times 2$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

[\begin{matrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 & 1 x + 2 y + 3 z x \cdot 1 + y \cdot 2 + z \cdot 3 & x \cdot x + y \cdot y + z \cdot z \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 & 1 x + 2 y + 3 z \\ x \cdot 1 + y \cdot 2 + z \cdot 3 & x \cdot x + y \cdot y + z \cdot z \end{array}]$

Étape 1.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

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Étape 1.3.1

Multipliez

x

$x$ par

x

$x$ .

[\begin{matrix} 14 & x + 2 y + 3 z x + 2 y + 3 z & x^{2} + y \cdot y + z \cdot z \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 14 & x + 2 y + 3 z \\ x + 2 y + 3 z & x^{2} + y \cdot y + z \cdot z \end{array}]$

Étape 1.3.2

Multipliez

y

$y$ par

y

$y$ .

[\begin{matrix} 14 & x + 2 y + 3 z x + 2 y + 3 z & x^{2} + y^{2} + z \cdot z \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 14 & x + 2 y + 3 z \\ x + 2 y + 3 z & x^{2} + y^{2} + z \cdot z \end{array}]$

Étape 1.3.3

Multipliez

z

$z$ par

z

$z$ .

[\begin{matrix} 14 & x + 2 y + 3 z x + 2 y + 3 z & x^{2} + y^{2} + z^{2} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 14 & x + 2 y + 3 z \\ x + 2 y + 3 z & x^{2} + y^{2} + z^{2} \end{array}]$

[\begin{matrix} 14 & x + 2 y + 3 z x + 2 y + 3 z & x^{2} + y^{2} + z^{2} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 14 & x + 2 y + 3 z \\ x + 2 y + 3 z & x^{2} + y^{2} + z^{2} \end{array}]$

[\begin{matrix} 14 & x + 2 y + 3 z x + 2 y + 3 z & x^{2} + y^{2} + z^{2} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 14 & x + 2 y + 3 z \\ x + 2 y + 3 z & x^{2} + y^{2} + z^{2} \end{array}]$

Étape 2

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$14 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - (x + 2 y + 3 z) (x + 2 y + 3 z)$

Étape 3

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - (x + 2 y + 3 z) (x + 2 y + 3 z)$

Étape 3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} + (- x - (2 y) - (3 z)) (x + 2 y + 3 z)$

Étape 3.1.3

Simplifiez

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Étape 3.1.3.1

Multipliez

$2$ par

$- 1$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} + (- x - 2 y - (3 z)) (x + 2 y + 3 z)$

Étape 3.1.3.2

Multipliez

$3$ par

$- 1$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} + (- x - 2 y - 3 z) (x + 2 y + 3 z)$

Étape 3.1.4

Développez

$(- x - 2 y - 3 z) (x + 2 y + 3 z)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x \cdot x - x (2 y) - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Étape 3.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.5.1

Multipliez

$x$ par

$x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.5.1.1

Déplacez

$x$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - (x \cdot x) - x (2 y) - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Étape 3.1.5.1.2

Multipliez

$x$ par

$x$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - x (2 y) - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Étape 3.1.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 1 \cdot 2 x y - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Étape 3.1.5.3

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Étape 3.1.5.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 1 \cdot 3 x z - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Étape 3.1.5.5

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Étape 3.1.5.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 2 \cdot 2 y \cdot y - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Étape 3.1.5.7

Multipliez

$y$ par

$y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.5.7.1

Déplacez

$y$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 2 \cdot 2 (y \cdot y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Étape 3.1.5.7.2

Multipliez

$y$ par

$y$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 2 \cdot 2 y^{2} - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Étape 3.1.5.8

Multipliez

$- 2$ par

$2$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Étape 3.1.5.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 2 \cdot 3 y z - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Étape 3.1.5.10

Multipliez

$- 2$ par

$3$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Étape 3.1.5.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 3 \cdot 2 z y - 3 z (3 z)$

Étape 3.1.5.12

Multipliez

$- 3$ par

$2$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 6 z y - 3 z (3 z)$

Étape 3.1.5.13

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 6 z y - 3 \cdot 3 z \cdot z$

Étape 3.1.5.14

Multipliez

$z$ par

$z$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.5.14.1

Déplacez

$z$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 6 z y - 3 \cdot 3 (z \cdot z)$

Étape 3.1.5.14.2

Multipliez

$z$ par

$z$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 6 z y - 3 \cdot 3 z^{2}$

Étape 3.1.5.15

Multipliez

$- 3$ par

$3$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 6 z y - 9 z^{2}$

Étape 3.1.6

Soustrayez

$2 y x$ de

$- 2 x y$ .

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Étape 3.1.6.1

Déplacez

$y$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 2 x y - 3 x z - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 6 z y - 9 z^{2}$

Étape 3.1.6.2

Soustrayez

$2 x y$ de

$- 2 x y$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 4 x y - 3 x z - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 6 z y - 9 z^{2}$

Étape 3.1.7

Soustrayez

$3 z x$ de

$- 3 x z$ .

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Étape 3.1.7.1

Déplacez

$z$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 4 x y - 4 y^{2} - 6 y z - 3 x z - 3 x z - 6 z y - 9 z^{2}$

Étape 3.1.7.2

Soustrayez

$3 x z$ de

$- 3 x z$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 4 x y - 4 y^{2} - 6 y z - 6 x z - 6 z y - 9 z^{2}$

Étape 3.1.8

Soustrayez

$6 z y$ de

$- 6 y z$ .

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Étape 3.1.8.1

Déplacez

$z$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 4 x y - 4 y^{2} - 6 y z - 6 y z - 6 x z - 9 z^{2}$

Étape 3.1.8.2

Soustrayez

$6 y z$ de

$- 6 y z$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 4 x y - 4 y^{2} - 12 y z - 6 x z - 9 z^{2}$

Étape 3.2

Soustrayez

$x^{2}$ de

$14 x^{2}$ .

$13 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - 4 x y - 4 y^{2} - 12 y z - 6 x z - 9 z^{2}$

Étape 3.3

Soustrayez

$4 y^{2}$ de

$14 y^{2}$ .

$13 x^{2} + 10 y^{2} + 14 z^{2} - 4 x y - 12 y z - 6 x z - 9 z^{2}$

Étape 3.4

Soustrayez

$9 z^{2}$ de

$14 z^{2}$ .

$13 x^{2} + 10 y^{2} + 5 z^{2} - 4 x y - 12 y z - 6 x z$