Algèbre linéaire Exemples

$3 x^{2} + n x + 5 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = n$ et $c = 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 5)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 12$ par $5$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.1

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Étape 4.1.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 12$ par $5$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Étape 4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- n + \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Étape 4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- n$ .

$x = \frac{- (n) + \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Étape 4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{n^{2} - 60}$ .

$x = \frac{- (n) - 1 (- \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Étape 4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (n) - 1 (- \sqrt{n^{2} - 60})$ .

$x = \frac{- (n - \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Étape 4.7

Réécrivez $- (n - \sqrt{n^{2} - 60})$ comme $- 1 (n - \sqrt{n^{2} - 60})$ .

$x = \frac{- 1 (n - \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Étape 4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{n - \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Étape 5.1.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 12$ par $5$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Étape 5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- n - \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Étape 5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- n$ .

$x = \frac{- (n) - \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Étape 5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{n^{2} - 60}$ .

$x = \frac{- (n) - (\sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Étape 5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (n) - (\sqrt{n^{2} - 60})$ .

$x = \frac{- (n + \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Étape 5.7

Réécrivez $- (n + \sqrt{n^{2} - 60})$ comme $- 1 (n + \sqrt{n^{2} - 60})$ .

$x = \frac{- 1 (n + \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Étape 5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{n + \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{n - \sqrt{n^{2} - 60}}{6}, - \frac{n + \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt{n^{2} - 60}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$n^{2} - 60 \geq 0$

Étape 8

Résolvez $n$ .

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Étape 8.1

Ajoutez $60$ aux deux côtés de l’inégalité.

$n^{2} \geq 60$

Étape 8.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{n^{2}} \geq \sqrt{60}$

Étape 8.3

Simplifiez l’équation.

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Étape 8.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| n | \geq \sqrt{60}$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.1

Simplifiez $\sqrt{60}$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Réécrivez $60$ comme $2^{2} \cdot 15$ .

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Étape 8.3.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$| n | \geq \sqrt{4 (15)}$

Étape 8.3.2.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| n | \geq \sqrt{2^{2} \cdot 15}$

Étape 8.3.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| n | \geq | 2 | \sqrt{15}$

Étape 8.3.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$| n | \geq 2 \sqrt{15}$

Étape 8.4

Écrivez $| n | \geq 2 \sqrt{15}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 8.4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$n \geq 0$

Étape 8.4.2

Dans la partie où $n$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$n \geq 2 \sqrt{15}$

Étape 8.4.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$n < 0$

Étape 8.4.4

Dans la partie où $n$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- n \geq 2 \sqrt{15}$

Étape 8.4.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} n \geq 2 \sqrt{15} & n \geq 0 \\ - n \geq 2 \sqrt{15} & n < 0 \end{cases}$

Étape 8.5

Déterminez l’intersection de $n \geq 2 \sqrt{15}$ et $n \geq 0$ .

$n \geq 2 \sqrt{15}$

Étape 8.6

Divisez chaque terme dans $- n \geq 2 \sqrt{15}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 8.6.1

Divisez chaque terme dans $- n \geq 2 \sqrt{15}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- n}{- 1} \leq \frac{2 \sqrt{15}}{- 1}$

Étape 8.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{n}{1} \leq \frac{2 \sqrt{15}}{- 1}$

Étape 8.6.2.2

Divisez $n$ par $1$ .

$n \leq \frac{2 \sqrt{15}}{- 1}$

Étape 8.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.6.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 \sqrt{15}}{- 1}$ .

$n \leq - 1 \cdot (2 \sqrt{15})$

Étape 8.6.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot (2 \sqrt{15})$ comme $- (2 \sqrt{15})$ .

$n \leq - (2 \sqrt{15})$

Étape 8.6.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$n \leq - 2 \sqrt{15}$

Étape 8.7

Déterminez l’union des solutions.

$n \leq - 2 \sqrt{15}$ ou $n \geq 2 \sqrt{15}$

Étape 9

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $n$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2 \sqrt{15}] \cup [2 \sqrt{15}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${n | n \leq - 2 \sqrt{15}, n \geq 2 \sqrt{15}}$

Étape 10