Algèbre linéaire Exemples

4 x \sqrt{2 x \sqrt[3]{3 x}}

$4 x \sqrt{2 x \sqrt[3]{3 x}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans

\sqrt{2 x \sqrt[3]{3 x}}

$\sqrt{2 x \sqrt[3]{3 x}}$ supérieur ou égal à

0

$0$ pour déterminer où l’expression est définie.

2 x \sqrt[3]{3 x} \geq 0

$2 x \sqrt[3]{3 x} \geq 0$

Étape 2

Résolvez

x

$x$ .

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Étape 2.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

{(2 x \sqrt[3]{3 x})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 x \sqrt[3]{3 x})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.2.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt[3]{3 x}

$\sqrt[3]{3 x}$ comme

{(3 x)}^{\frac{1}{3}}

${(3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

{(2 x {(3 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 x {(3 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez

{(2 x {(3 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}

${(2 x {(3 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à

3 x

$3 x$ .

{(2 x (3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}))}^{3} \geq 0^{3}

${(2 x (3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}))}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x \cdot x^{\frac{1}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x \cdot x^{\frac{1}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez

x

$x$ par

x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.2.1.3.1

Déplacez

x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}}$ .

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} x))}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} x))}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.3.2

Multipliez

x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}}$ par

x

$x$ .

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Étape 2.2.2.1.3.2.1

Élevez

x

$x$ à la puissance

1

$1$ .

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} x^{1}))}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} x^{1}))}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + 1})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + 1})}^{3} \geq 0^{3}$

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + 1})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + 1})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.3.3

Écrivez

1

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1 + 3}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1 + 3}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.3.5

Additionnez

1

$1$ et

3

$3$ .

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.4

Utilisez la règle de puissance

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.2.2.1.4.1

Appliquez la règle de produit à

2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}}

$2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}}$ .

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Appliquez la règle de produit à

2 \cdot 3^{\frac{1}{3}}

$2 \cdot 3^{\frac{1}{3}}$ .

2^{3} \cdot {(3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

$2^{3} \cdot {(3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

2^{3} \cdot {(3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

$2^{3} \cdot {(3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.5

Élevez

2

$2$ à la puissance

3

$3$ .

8 \cdot {(3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

$8 \cdot {(3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez les exposants dans

${(3^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \cdot 3^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.6.2

Annulez le facteur commun de

$3$ .

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Étape 2.2.2.1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$8 \cdot 3^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$8 \cdot 3^{1} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.7

Évaluez l’exposant.

$8 \cdot 3 {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.8

Multipliez

$8$ par

$3$ .

$24 {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.9

Multipliez les exposants dans

${(x^{\frac{4}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 x^{\frac{4}{3} \cdot 3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.9.2

Annulez le facteur commun de

$3$ .

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Étape 2.2.2.1.9.2.1

Annulez le facteur commun.

$24 x^{\frac{4}{3} \cdot 3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.9.2.2

Réécrivez l’expression.

$24 x^{4} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$24 x^{4} \geq 0$

Étape 2.3

Résolvez

$x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans

$24 x^{4} \geq 0$ par

$24$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans

$24 x^{4} \geq 0$ par

$24$ .

$\frac{24 x^{4}}{24} \geq \frac{0}{24}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de

$24$ .

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Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{24 x^{4}}{24} \geq \frac{0}{24}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez

$x^{4}$ par

$1$ .

$x^{4} \geq \frac{0}{24}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez

$0$ par

$24$ .

$x^{4} \geq 0$

Étape 2.3.2

Comme le côté gauche a une puissance paire, il est toujours positif pour tous les nombres réels.

Tous les nombres réels

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4