Algèbre linéaire Exemples

$5 x^{2 y} = 30$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $5 x^{2 y} = 30$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $5 x^{2 y} = 30$ par $5$ .

$\frac{5 x^{2 y}}{5} = \frac{30}{5}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{2 y}}{5} = \frac{30}{5}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $x^{2 y}$ par $1$ .

$x^{2 y} = \frac{30}{5}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Divisez $30$ par $5$ .

$x^{2 y} = 6$

Étape 2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (x^{2 y}) = \ln (6)$

Étape 3

Développez $\ln (x^{2 y})$ en déplaçant $2 y$ hors du logarithme.

$2 y \ln (x) = \ln (6)$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $2 y \ln (x) = \ln (6)$ par $2 \ln (x)$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 y \ln (x) = \ln (6)$ par $2 \ln (x)$ .

$\frac{2 y \ln (x)}{2 \ln (x)} = \frac{\ln (6)}{2 \ln (x)}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y \ln (x)}{2 \ln (x)} = \frac{\ln (6)}{2 \ln (x)}$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (6)}{2 \ln (x)}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (x)$ .

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (6)}{2 \ln (x)}$

Étape 4.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (6)}{2 \ln (x)}$

Étape 5

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x > 0$

Étape 6

Définissez le dénominateur dans $\frac{\ln (6)}{2 \ln (x)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 \ln (x) = 0$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $2 \ln (x) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.1.1

Divisez chaque terme dans $2 \ln (x) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 7.1.2.1.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) = \frac{0}{2}$

Étape 7.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$\ln (x) = 0$

Étape 7.2

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{0}$

Étape 7.3

Réécrivez $\ln (x) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x$

Étape 7.4

Résolvez $x$ .

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Étape 7.4.1

Réécrivez l’équation comme $x = e^{0}$ .

$x = e^{0}$

Étape 7.4.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x = 1$

Étape 8

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(0, 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0, x \neq 1}$

Étape 9