Algèbre linéaire Exemples

$5000 = 4000 {(1 + r (e f \cdot f))}^{4}$

Étape 1

Comme $r$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$4000 {(1 + r e f \cdot f)}^{4} = 5000$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Élevez $f$ à la puissance $1$ .

$4000 {(1 + r e (f^{1} f))}^{4} = 5000$

Étape 2.2

Élevez $f$ à la puissance $1$ .

$4000 {(1 + r e (f^{1} f^{1}))}^{4} = 5000$

Étape 2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4000 {(1 + r e f^{1 + 1})}^{4} = 5000$

Étape 2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$4000 {(1 + r e f^{2})}^{4} = 5000$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $4000 {(1 + r e f^{2})}^{4} = 5000$ par $4000$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $4000 {(1 + r e f^{2})}^{4} = 5000$ par $4000$ .

$\frac{4000 {(1 + r e f^{2})}^{4}}{4000} = \frac{5000}{4000}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $4000$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4000 {(1 + r e f^{2})}^{4}}{4000} = \frac{5000}{4000}$

Étape 3.2.1.2

Divisez ${(1 + r e f^{2})}^{4}$ par $1$ .

${(1 + r e f^{2})}^{4} = \frac{5000}{4000}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun à $5000$ et $4000$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Factorisez $1000$ à partir de $5000$ .

${(1 + r e f^{2})}^{4} = \frac{1000 (5)}{4000}$

Étape 3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.2.1

Factorisez $1000$ à partir de $4000$ .

${(1 + r e f^{2})}^{4} = \frac{1000 \cdot 5}{1000 \cdot 4}$

Étape 3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

${(1 + r e f^{2})}^{4} = \frac{1000 \cdot 5}{1000 \cdot 4}$

Étape 3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

${(1 + r e f^{2})}^{4} = \frac{5}{4}$

Étape 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$1 + r e f^{2} = \pm \sqrt[4]{\frac{5}{4}}$

Étape 5

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{\frac{5}{4}}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez $\sqrt[4]{\frac{5}{4}}$ comme $\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{4}}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{4}}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{2^{2}}}$

Étape 5.2.2

Réécrivez $\sqrt[4]{2^{2}}$ comme $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{\sqrt{2^{2}}}}$

Étape 5.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 5.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $4$ .

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Étape 5.5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 5.5.1.2

Réécrivez $2^{\frac{1}{2}}$ comme $2^{\frac{2}{4}}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \cdot 2^{\frac{2}{4}}}{2}$

Étape 5.5.1.3

Réécrivez $2^{\frac{2}{4}}$ comme $\sqrt[4]{2^{2}}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt[4]{2^{2}}}{2}$

Étape 5.5.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5 \cdot 2^{2}}}{2}$

Étape 5.5.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5 \cdot 4}}{2}$

Étape 5.6

Multipliez $5$ par $4$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{20}}{2}$

Étape 6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$1 + r e f^{2} = \frac{\sqrt[4]{20}}{2}$

Étape 6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$r e f^{2} = \frac{\sqrt[4]{20}}{2} - 1$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $r e f^{2} = \frac{\sqrt[4]{20}}{2} - 1$ par $e f^{2}$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $r e f^{2} = \frac{\sqrt[4]{20}}{2} - 1$ par $e f^{2}$ .

$\frac{r e f^{2}}{e f^{2}} = \frac{\frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $e$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r e f^{2}}{e f^{2}} = \frac{\frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Étape 6.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{r f^{2}}{f^{2}} = \frac{\frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun de $f^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r f^{2}}{f^{2}} = \frac{\frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Étape 6.3.2.2.2

Divisez $r$ par $1$ .

$r = \frac{\frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$r = \frac{\sqrt[4]{20}}{2} \cdot \frac{1}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Étape 6.3.3.1.2

Associez.

$r = \frac{\sqrt[4]{20} \cdot 1}{2 (e f^{2})} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Étape 6.3.3.1.3

Multipliez $\sqrt[4]{20}$ par $1$ .

$r = \frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Étape 6.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$r = \frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}} - \frac{1}{e f^{2}}$

Étape 6.4

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$1 + r e f^{2} = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2}$

Étape 6.5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$r e f^{2} = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2} - 1$

Étape 6.6

Divisez chaque terme dans $r e f^{2} = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2} - 1$ par $e f^{2}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1

Divisez chaque terme dans $r e f^{2} = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2} - 1$ par $e f^{2}$ .

$\frac{r e f^{2}}{e f^{2}} = \frac{- \frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Étape 6.6.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.2.1

Annulez le facteur commun de $e$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r e f^{2}}{e f^{2}} = \frac{- \frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Étape 6.6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{r f^{2}}{f^{2}} = \frac{- \frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Étape 6.6.2.2

Annulez le facteur commun de $f^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r f^{2}}{f^{2}} = \frac{- \frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Étape 6.6.2.2.2

Divisez $r$ par $1$ .

$r = \frac{- \frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Étape 6.6.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$r = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2} \cdot \frac{1}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Étape 6.6.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{e f^{2}}$ par $\frac{\sqrt[4]{20}}{2}$ .

$r = - \frac{\sqrt[4]{20}}{e f^{2} \cdot 2} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Étape 6.6.3.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $e f^{2}$ .

$r = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2 \cdot (e f^{2})} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Étape 6.6.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$r = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}} - \frac{1}{e f^{2}}$

Étape 6.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$r = \frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}} - \frac{1}{e f^{2}}$

$r = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}} - \frac{1}{e f^{2}}$

$r = \frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}} - \frac{1}{e f^{2}}$

$r = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}} - \frac{1}{e f^{2}}$

Étape 7

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 e f^{2} = 0$

Étape 8

Résolvez $f$ .

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $2 e f^{2} = 0$ par $2 e$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Divisez chaque terme dans $2 e f^{2} = 0$ par $2 e$ .

$\frac{2 e f^{2}}{2 e} = \frac{0}{2 e}$

Étape 8.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 e f^{2}}{2 e} = \frac{0}{2 e}$

Étape 8.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e f^{2}}{e} = \frac{0}{2 e}$

Étape 8.1.2.2

Annulez le facteur commun de $e$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e f^{2}}{e} = \frac{0}{2 e}$

Étape 8.1.2.2.2

Divisez $f^{2}$ par $1$ .

$f^{2} = \frac{0}{2 e}$

Étape 8.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.3.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$f^{2} = \frac{2 (0)}{2 e}$

Étape 8.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 e$ .

$f^{2} = \frac{2 (0)}{2 (e)}$

Étape 8.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{2} = \frac{2 \cdot 0}{2 e}$

Étape 8.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{2} = \frac{0}{e}$

Étape 8.1.3.2

Divisez $0$ par $e$ .

$f^{2} = 0$

Étape 8.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$f = \pm \sqrt{0}$

Étape 8.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 8.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f = \pm 0$

Étape 8.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$f = 0$

Étape 9

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{e f^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$e f^{2} = 0$

Étape 10

Résolvez $f$ .

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Étape 10.1

Divisez chaque terme dans $e f^{2} = 0$ par $e$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

Divisez chaque terme dans $e f^{2} = 0$ par $e$ .

$\frac{e f^{2}}{e} = \frac{0}{e}$

Étape 10.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.2.1

Annulez le facteur commun de $e$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e f^{2}}{e} = \frac{0}{e}$

Étape 10.1.2.1.2

Divisez $f^{2}$ par $1$ .

$f^{2} = \frac{0}{e}$

Étape 10.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.3.1

Divisez $0$ par $e$ .

$f^{2} = 0$

Étape 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$f = \pm \sqrt{0}$

Étape 10.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 10.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f = \pm 0$

Étape 10.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$f = 0$

Étape 11

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $f$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${f | f \neq 0}$

Étape 12