Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 3 \\ - 2 & 1 & 5 \\ 3 & 4 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 3 & 1 \\ 3 & - 4 & 5 \\ 1 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 3 \\ - 2 & 1 & 5 \\ 3 & 4 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 3 & 1 \\ 3 & - 4 & 5 \\ 1 & - 1 & - 2 \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 3$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 - 3 \cdot 1 & 1 \cdot 3 + 0 \cdot - 4 - 3 \cdot - 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 5 - 3 \cdot - 2 \\ - 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 5 \cdot 1 & - 2 \cdot 3 + 1 \cdot - 4 + 5 \cdot - 1 & - 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5 + 5 \cdot - 2 \\ 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 2 \cdot 1 & 3 \cdot 3 + 4 \cdot - 4 + 2 \cdot - 1 & 3 \cdot 1 + 4 \cdot 5 + 2 \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 1.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} - 1 & 6 & 7 \\ 4 & - 15 & - 7 \\ 20 & - 9 & 19 \end{array}]$

Étape 2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 15 & - 7 \\ - 9 & 19 \end{array} |$

Étape 2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 15 & - 7 \\ - 9 & 19 \end{array} |$

Étape 2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 7 \\ 20 & 19 \end{array} |$

Étape 2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 6 | \begin{array}{c} 4 & - 7 \\ 20 & 19 \end{array} |$

Étape 2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

Étape 2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

Étape 2.9

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} - 15 & - 7 \\ - 9 & 19 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 4 & - 7 \\ 20 & 19 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} - 15 & - 7 \\ - 9 & 19 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 (- 15 \cdot 19 - (- 9 \cdot - 7)) - 6 | \begin{array}{c} 4 & - 7 \\ 20 & 19 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- 15$ par $19$ .

$- 1 (- 285 - (- 9 \cdot - 7)) - 6 | \begin{array}{c} 4 & - 7 \\ 20 & 19 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- (- 9 \cdot - 7)$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $- 9$ par $- 7$ .

$- 1 (- 285 - 1 \cdot 63) - 6 | \begin{array}{c} 4 & - 7 \\ 20 & 19 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $63$ .

$- 1 (- 285 - 63) - 6 | \begin{array}{c} 4 & - 7 \\ 20 & 19 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Soustrayez $63$ de $- 285$ .

$- 1 \cdot - 348 - 6 | \begin{array}{c} 4 & - 7 \\ 20 & 19 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & - 7 \\ 20 & 19 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 \cdot - 348 - 6 (4 \cdot 19 - 20 \cdot - 7) + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $4$ par $19$ .

$- 1 \cdot - 348 - 6 (76 - 20 \cdot - 7) + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 20$ par $- 7$ .

$- 1 \cdot - 348 - 6 (76 + 140) + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

Étape 4.2.2

Additionnez $76$ et $140$ .

$- 1 \cdot - 348 - 6 \cdot 216 + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

Étape 5

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$ .

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Étape 5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 \cdot - 348 - 6 \cdot 216 + 7 (4 \cdot - 9 - 20 \cdot - 15)$

Étape 5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $4$ par $- 9$ .

$- 1 \cdot - 348 - 6 \cdot 216 + 7 (- 36 - 20 \cdot - 15)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 20$ par $- 15$ .

$- 1 \cdot - 348 - 6 \cdot 216 + 7 (- 36 + 300)$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 36$ et $300$ .

$- 1 \cdot - 348 - 6 \cdot 216 + 7 \cdot 264$

Étape 6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 348$ .

$348 - 6 \cdot 216 + 7 \cdot 264$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 6$ par $216$ .

$348 - 1296 + 7 \cdot 264$

Étape 6.1.3

Multipliez $7$ par $264$ .

$348 - 1296 + 1848$

Étape 6.2

Soustrayez $1296$ de $348$ .

$- 948 + 1848$

Étape 6.3

Additionnez $- 948$ et $1848$ .

$900$