Algèbre linéaire Exemples

$z = \frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{25}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{25} = z$ .

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{25} = z$

Étape 2

Ajoutez $\frac{x^{2}}{25}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{16} = z + \frac{x^{2}}{25}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $16$ .

$16 \frac{y^{2}}{16} = 16 (z + \frac{x^{2}}{25})$

Étape 4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$16 \frac{y^{2}}{16} = 16 (z + \frac{x^{2}}{25})$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 16 (z + \frac{x^{2}}{25})$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $16 (z + \frac{x^{2}}{25})$ .

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 16 z + 16 \frac{x^{2}}{25}$

Étape 4.2.1.2

Associez $16$ et $\frac{x^{2}}{25}$ .

$y^{2} = 16 z + \frac{16 x^{2}}{25}$

Étape 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{16 z + \frac{16 x^{2}}{25}}$

Étape 6

Simplifiez $\pm \sqrt{16 z + \frac{16 x^{2}}{25}}$ .

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Étape 6.1

Factorisez $16$ à partir de $16 z + \frac{16 x^{2}}{25}$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $16$ à partir de $16 z$ .

$y = \pm \sqrt{16 (z) + \frac{16 x^{2}}{25}}$

Étape 6.1.2

Factorisez $16$ à partir de $\frac{16 x^{2}}{25}$ .

$y = \pm \sqrt{16 (z) + 16 \frac{x^{2}}{25}}$

Étape 6.1.3

Factorisez $16$ à partir de $16 (z) + 16 \frac{x^{2}}{25}$ .

$y = \pm \sqrt{16 (z + \frac{x^{2}}{25})}$

Étape 6.2

Pour écrire $z$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{25}{25}$ .

$y = \pm \sqrt{16 (z \cdot \frac{25}{25} + \frac{x^{2}}{25})}$

Étape 6.3

Simplifiez les termes.

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Étape 6.3.1

Associez $z$ et $\frac{25}{25}$ .

$y = \pm \sqrt{16 (\frac{z \cdot 25}{25} + \frac{x^{2}}{25})}$

Étape 6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{16 \frac{z \cdot 25 + x^{2}}{25}}$

Étape 6.4

Déplacez $25$ à gauche de $z$ .

$y = \pm \sqrt{16 \frac{25 z + x^{2}}{25}}$

Étape 6.5

Associez $16$ et $\frac{25 z + x^{2}}{25}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (25 z + x^{2})}{25}}$

Étape 6.6

Réécrivez $\frac{16 (25 z + x^{2})}{25}$ comme ${(\frac{2^{2}}{5})}^{2} (25 z + x^{2})$ .

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Étape 6.6.1

Factorisez la puissance parfaite ${(2^{2})}^{2}$ dans $16 (25 z + x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} (25 z + x^{2})}{25}}$

Étape 6.6.2

Factorisez la puissance parfaite $5^{2}$ dans $25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} (25 z + x^{2})}{5^{2} \cdot 1}}$

Étape 6.6.3

Réorganisez la fraction $\frac{{(2^{2})}^{2} (25 z + x^{2})}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{5})}^{2} (25 z + x^{2})}$

Étape 6.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{2^{2}}{5} \sqrt{25 z + x^{2}}$

Étape 6.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \pm \frac{4}{5} \sqrt{25 z + x^{2}}$

Étape 6.9

Associez $\frac{4}{5}$ et $\sqrt{25 z + x^{2}}$ .

$y = \pm \frac{4 \sqrt{25 z + x^{2}}}{5}$

Étape 7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{4 \sqrt{25 z + x^{2}}}{5}$

Étape 7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{4 \sqrt{25 z + x^{2}}}{5}$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{4 \sqrt{25 z + x^{2}}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{25 z + x^{2}}}{5}$

$y = \frac{4 \sqrt{25 z + x^{2}}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{25 z + x^{2}}}{5}$

Étape 8

Définissez le radicande dans $\sqrt{25 z + x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$25 z + x^{2} \geq 0$

Étape 9

Résolvez $z$ .

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Étape 9.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$25 z \geq - x^{2}$

Étape 9.2

Divisez chaque terme dans $25 z \geq - x^{2}$ par $25$ et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Divisez chaque terme dans $25 z \geq - x^{2}$ par $25$ .

$\frac{25 z}{25} \geq \frac{- x^{2}}{25}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 z}{25} \geq \frac{- x^{2}}{25}$

Étape 9.2.2.1.2

Divisez $z$ par $1$ .

$z \geq \frac{- x^{2}}{25}$

Étape 9.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$z \geq - \frac{x^{2}}{25}$

Étape 10

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${z | z \in ℝ}$