Algèbre linéaire Exemples

$y - 2 x y = x^{3} y^{5}$

Étape 1

Soustrayez $x^{3} y^{5}$ des deux côtés de l’équation.

$y - 2 x y - x^{3} y^{5} = 0$

Étape 2

Factorisez $y$ à partir de $y - 2 x y - x^{3} y^{5}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - 2 x y - x^{3} y^{5} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 x y$ .

$y \cdot 1 + y (- 2 x) - x^{3} y^{5} = 0$

Étape 2.3

Factorisez $y$ à partir de $- x^{3} y^{5}$ .

$y \cdot 1 + y (- 2 x) + y (- x^{3} y^{4}) = 0$

Étape 2.4

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ .

$y \cdot (1 - 2 x) + y (- x^{3} y^{4}) = 0$

Étape 2.5

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot (1 - 2 x) + y (- x^{3} y^{4})$ .

$y (1 - 2 x - x^{3} y^{4}) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y = 0$

$1 - 2 x - x^{3} y^{4} = 0$

Étape 4

Définissez $y$ égal à $0$ .

$y = 0$

Étape 5

Définissez $1 - 2 x - x^{3} y^{4}$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Définissez $1 - 2 x - x^{3} y^{4}$ égal à $0$ .

$1 - 2 x - x^{3} y^{4} = 0$

Étape 5.2

Résolvez $1 - 2 x - x^{3} y^{4} = 0$ pour $y$ .

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Étape 5.2.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x - x^{3} y^{4} = - 1$

Étape 5.2.1.2

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$- x^{3} y^{4} = - 1 + 2 x$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{3} y^{4} = - 1 + 2 x$ par $- x^{3}$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{3} y^{4} = - 1 + 2 x$ par $- x^{3}$ .

$\frac{- x^{3} y^{4}}{- x^{3}} = \frac{- 1}{- x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{3} y^{4}}{x^{3}} = \frac{- 1}{- x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Étape 5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 5.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} y^{4}}{x^{3}} = \frac{- 1}{- x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Étape 5.2.2.2.2.2

Divisez $y^{4}$ par $1$ .

$y^{4} = \frac{- 1}{- x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Étape 5.2.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 5.2.2.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{x \cdot 2}{- x^{3}}$

Étape 5.2.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.3.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3}$ .

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{x \cdot 2}{x (- x^{2})}$

Étape 5.2.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{x \cdot 2}{x (- x^{2})}$

Étape 5.2.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{2}{- x^{2}}$

Étape 5.2.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}}$

Étape 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}}}$ .

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Étape 5.2.4.1

Pour écrire $- \frac{2}{x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x}}$

Étape 5.2.4.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x^{3}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Multipliez $\frac{2}{x^{2}}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2 x}{x^{2} x}}$

Étape 5.2.4.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.4.2.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.2.4.2.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2 x}{x^{2} x^{1}}}$

Étape 5.2.4.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2 x}{x^{2 + 1}}}$

Étape 5.2.4.2.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2 x}{x^{3}}}$

Étape 5.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1 - 2 x}{x^{3}}}$

Étape 5.2.4.4

Réécrivez $\sqrt[4]{\frac{1 - 2 x}{x^{3}}}$ comme $\frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Étape 5.2.4.5

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$

Étape 5.2.4.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{\sqrt[4]{x^{3}} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$

Étape 5.2.4.6.2

Élevez $\sqrt[4]{x^{3}}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{1} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$

Étape 5.2.4.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{1 + 3}}$

Étape 5.2.4.6.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{4}}$

Étape 5.2.4.6.5

Réécrivez ${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4}$ comme $x^{3}$ .

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Étape 5.2.4.6.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{4}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{(x^{\frac{3}{4}})}^{4}}$

Étape 5.2.4.6.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{3}{4} \cdot 4}}$

Étape 5.2.4.6.5.3

Associez $\frac{3}{4}$ et $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{3 \cdot 4}{4}}}$

Étape 5.2.4.6.5.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{12}{4}}}$

Étape 5.2.4.6.5.5

Annulez le facteur commun à $12$ et $4$ .

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Étape 5.2.4.6.5.5.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{4 \cdot 3}{4}}}$

Étape 5.2.4.6.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.4.6.5.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{4 \cdot 3}{4 (1)}}}$

Étape 5.2.4.6.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}}}$

Étape 5.2.4.6.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{3}{1}}}$

Étape 5.2.4.6.5.5.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{3}}$

Étape 5.2.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.7.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{{(x^{3})}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{{(x^{3})}^{3}}}{x^{3}}$

Étape 5.2.4.7.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{3}$ .

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Étape 5.2.4.7.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{x^{3 \cdot 3}}}{x^{3}}$

Étape 5.2.4.7.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{x^{9}}}{x^{3}}$

Étape 5.2.4.7.3

Réécrivez $x^{9}$ comme ${(x^{2})}^{4} x$ .

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Étape 5.2.4.7.3.1

Factorisez $x^{8}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{x^{8} x}}{x^{3}}$

Étape 5.2.4.7.3.2

Réécrivez $x^{8}$ comme ${(x^{2})}^{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{{(x^{2})}^{4} x}}{x^{3}}$

Étape 5.2.4.7.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} x^{2} \sqrt[4]{x}}{x^{3}}$

Étape 5.2.4.7.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt[4]{(1 - 2 x) x}}{x^{3}}$

Étape 5.2.4.8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.4.8.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 5.2.4.8.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} \sqrt[4]{(1 - 2 x) x}$ .

$y = \pm \frac{x^{2} (\sqrt[4]{(1 - 2 x) x})}{x^{3}}$

Étape 5.2.4.8.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.4.8.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$y = \pm \frac{x^{2} (\sqrt[4]{(1 - 2 x) x})}{x^{2} x}$

Étape 5.2.4.8.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt[4]{(1 - 2 x) x}}{x^{2} x}$

Étape 5.2.4.8.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{(1 - 2 x) x}}{x}$

Étape 5.2.4.8.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt[4]{(1 - 2 x) x}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Étape 5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Étape 5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Étape 5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $y (1 - 2 x - x^{3} y^{4}) = 0$ vraie.

$y = 0$

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x (1 - 2 x) \geq 0$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$1 - 2 x = 0$

Étape 8.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 8.3

Définissez $1 - 2 x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.3.1

Définissez $1 - 2 x$ égal à $0$ .

$1 - 2 x = 0$

Étape 8.3.2

Résolvez $1 - 2 x = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 1$

Étape 8.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 8.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 8.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 8.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 8.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 8.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 8.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (1 - 2 x) \geq 0$ vraie.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Étape 8.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Étape 8.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 8.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 2) (1 - 2 \cdot - 2) \geq 0$

Étape 8.6.1.3

Le côté gauche $- 10$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.25$

Étape 8.6.2.2

Remplacez $x$ par $0.25$ dans l’inégalité d’origine.

$(0.25) (1 - 2 \cdot 0.25) \geq 0$

Étape 8.6.2.3

Le côté gauche $0.125$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 8.6.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$(3) (1 - 2 \cdot 3) \geq 0$

Étape 8.6.3.3

Le côté gauche $- 15$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{1}{2}$ Vrai

$x > \frac{1}{2}$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{1}{2}$ Vrai

$x > \frac{1}{2}$ Faux

Étape 8.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$

Étape 9

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 10

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(0, \frac{1}{2}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | 0 < x \leq \frac{1}{2}}$

Étape 11