Algèbre linéaire Exemples

$y = \sqrt{\ln (\frac{4 - x}{x - 2})}$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\ln (\frac{4 - x}{x - 2})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{4 - x}{x - 2} > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$4 - x = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 4$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 2.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x = 4$

Étape 2.4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 4$

$x = 2$

Étape 2.6

Consolidez les solutions.

$x = 4, 2$

Étape 2.7

Déterminez le domaine de $\frac{4 - x}{x - 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 - x}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 2.7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.7.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Étape 2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.9.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 - (0)}{(0) - 2} > 0$

Étape 2.9.1.3

Le côté gauche $- 2$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 2.9.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 - (3)}{(3) - 2} > 0$

Étape 2.9.2.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 2.9.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 - (6)}{(6) - 2} > 0$

Étape 2.9.3.3

Le côté gauche $- 0.5$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 2$ Faux

$2 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < 2$ Faux

$2 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$2 < x < 4$

Étape 3

Définissez le radicande dans $\sqrt{\ln (\frac{4 - x}{x - 2})}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\ln (\frac{4 - x}{x - 2}) \geq 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\ln (\frac{4 - x}{x - 2}) = 0$

Étape 4.2

Résolvez l’équation.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\ln (\frac{4 - x}{x - 2}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{4 - x}{x - 2}$

Étape 4.2.2

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$4 - x = e^{0} (x - 2)$

Étape 4.2.3

Simplifiez $e^{0} (x - 2)$ .

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Étape 4.2.3.1

Supprimez les parenthèses.

$4 - x = e^{0} (x - 2)$

Étape 4.2.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 - x = 1 (x - 2)$

Étape 4.2.3.3

Multipliez $x - 2$ par $1$ .

$4 - x = x - 2$

Étape 4.2.4

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$4 - x - x = - 2$

Étape 4.2.4.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$4 - 2 x = - 2$

Étape 4.2.5

Factorisez $2$ à partir de $4 - 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (2) - 2 x = - 2$

Étape 4.2.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$2 (2) + 2 (- x) = - 2$

Étape 4.2.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2) + 2 (- x)$ .

$2 (2 - x) = - 2$

Étape 4.2.6

Divisez chaque terme dans $2 (2 - x) = - 2$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.1

Divisez chaque terme dans $2 (2 - x) = - 2$ par $2$ .

$\frac{2 (2 - x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Étape 4.2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 - x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Étape 4.2.6.2.1.2

Divisez $2 - x$ par $1$ .

$2 - x = \frac{- 2}{2}$

Étape 4.2.6.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.3.1

Divisez $- 2$ par $2$ .

$2 - x = - 1$

Étape 4.2.7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1 - 2$

Étape 4.2.7.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- x = - 3$

Étape 4.2.8

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 4.2.8.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 4.2.8.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 4.2.8.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $\ln (\frac{4 - x}{x - 2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Définissez l’argument dans $\ln (\frac{4 - x}{x - 2})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{4 - x}{x - 2} > 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$4 - x = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 4$

Étape 4.3.2.3

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 4.3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 4.3.2.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 4.3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x = 4$

Étape 4.3.2.4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.3.2.5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 4$

$x = 2$

Étape 4.3.2.6

Consolidez les solutions.

$x = 4, 2$

Étape 4.3.2.7

Déterminez le domaine de $\frac{4 - x}{x - 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 - x}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 4.3.2.7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.3.2.7.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 4.3.2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Étape 4.3.2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 4.3.2.9.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 - (0)}{(0) - 2} > 0$

Étape 4.3.2.9.1.3

Le côté gauche $- 2$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.3.2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 4.3.2.9.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 - (3)}{(3) - 2} > 0$

Étape 4.3.2.9.2.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.3.2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 4.3.2.9.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 - (6)}{(6) - 2} > 0$

Étape 4.3.2.9.3.3

Le côté gauche $- 0.5$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.3.2.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 2$ Faux

$2 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < 2$ Faux

$2 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 4.3.2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$2 < x < 4$

Étape 4.3.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 - x}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 4.3.4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.3.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(2, 4)$

Étape 4.4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 2$

$2 < x < 3$

$3 < x < 4$

$x > 4$

Étape 4.5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 4.5.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\ln (\frac{4 - (0)}{(0) - 2}) \geq 0$

Étape 4.5.1.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 4.5.1.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2.5$

Étape 4.5.2.2

Remplacez $x$ par $2.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\ln (\frac{4 - (2.5)}{(2.5) - 2}) \geq 0$

Étape 4.5.2.3

Le côté gauche $1.09861228$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3.5$

Étape 4.5.3.2

Remplacez $x$ par $3.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\ln (\frac{4 - (3.5)}{(3.5) - 2}) \geq 0$

Étape 4.5.3.3

Le côté gauche $- 1.09861228$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.5.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 4.5.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\ln (\frac{4 - (6)}{(6) - 2}) \geq 0$

Étape 4.5.4.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.4.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 4.5.4.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.5.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 2$ Faux

$2 < x < 3$ Vrai

$3 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Faux

$x < 2$ Faux

$2 < x < 3$ Vrai

$3 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Faux

Étape 4.6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$2 < x \leq 3$

Étape 5

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 - x}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 6

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(2, 3]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | 2 < x \leq 3}$

Étape 8