Algèbre linéaire Exemples

$x + 5 \sqrt{x^{2} + 11 x + 3}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} + 11 x + 3}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} + 11 x + 3 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + 11 x + 3 = 0$

Étape 2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 11$ et $c = 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1.1

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Étape 2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.3

Soustrayez $12$ de $121$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Étape 2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.3

Soustrayez $12$ de $121$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2}$

Étape 2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 11 + \sqrt{109}}{2}$

Étape 2.5.4

Réécrivez $- 11$ comme $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 11 + \sqrt{109}}{2}$

Étape 2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{109}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - 1 (- \sqrt{109})}{2}$

Étape 2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (11) - 1 (- \sqrt{109})$ .

$x = \frac{- 1 (11 - \sqrt{109})}{2}$

Étape 2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Étape 2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.3

Soustrayez $12$ de $121$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2}$

Étape 2.6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 11 - \sqrt{109}}{2}$

Étape 2.6.4

Réécrivez $- 11$ comme $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - \sqrt{109}}{2}$

Étape 2.6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{109}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - (\sqrt{109})}{2}$

Étape 2.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (11) - (\sqrt{109})$ .

$x = \frac{- 1 (11 + \sqrt{109})}{2}$

Étape 2.6.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$

Étape 2.7

Consolidez les solutions.

$x = - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}, - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$

Étape 2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

Étape 2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 13$

Étape 2.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 13$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 13)}^{2} + 11 (- 13) + 3 \geq 0$

Étape 2.9.1.3

Le côté gauche $29$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 2.9.2.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 3)}^{2} + 11 (- 3) + 3 \geq 0$

Étape 2.9.2.3

Le côté gauche $- 21$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.9.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} + 11 (0) + 3 \geq 0$

Étape 2.9.3.3

Le côté gauche $3$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ Vrai

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ Faux

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ Vrai

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ Vrai

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ Faux

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ Vrai

Étape 2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ ou $x \geq - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}] \cup [- \frac{11 - \sqrt{109}}{2}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}, x \geq - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}}$

Étape 4