Algèbre linéaire Exemples

$x u \cdot u x + y u \cdot u y = 3 u$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1

Déplacez $x$ .

$x \cdot x u \cdot u + y u \cdot u y = 3 u$

Étape 1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} u \cdot u + y u \cdot u y = 3 u$

Étape 1.2

Multipliez $u$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Déplacez $u$ .

$x^{2} (u \cdot u) + y u \cdot u y = 3 u$

Étape 1.2.2

Multipliez $u$ par $u$ .

$x^{2} u^{2} + y u \cdot u y = 3 u$

Étape 1.3

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1

Déplacez $y$ .

$x^{2} u^{2} + y \cdot y u \cdot u = 3 u$

Étape 1.3.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$x^{2} u^{2} + y^{2} u \cdot u = 3 u$

Étape 1.4

Multipliez $u$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1

Déplacez $u$ .

$x^{2} u^{2} + y^{2} (u \cdot u) = 3 u$

Étape 1.4.2

Multipliez $u$ par $u$ .

$x^{2} u^{2} + y^{2} u^{2} = 3 u$

Étape 2

Soustrayez $x^{2} u^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} u^{2} = 3 u - x^{2} u^{2}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $y^{2} u^{2} = 3 u - x^{2} u^{2}$ par $u^{2}$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $y^{2} u^{2} = 3 u - x^{2} u^{2}$ par $u^{2}$ .

$\frac{y^{2} u^{2}}{u^{2}} = \frac{3 u}{u^{2}} + \frac{- x^{2} u^{2}}{u^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $u^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} u^{2}}{u^{2}} = \frac{3 u}{u^{2}} + \frac{- x^{2} u^{2}}{u^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{3 u}{u^{2}} + \frac{- x^{2} u^{2}}{u^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $u$ et $u^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Factorisez $u$ à partir de $3 u$ .

$y^{2} = \frac{u \cdot 3}{u^{2}} + \frac{- x^{2} u^{2}}{u^{2}}$

Étape 3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.1.1.2.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{2}$ .

$y^{2} = \frac{u \cdot 3}{u \cdot u} + \frac{- x^{2} u^{2}}{u^{2}}$

Étape 3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = \frac{u \cdot 3}{u \cdot u} + \frac{- x^{2} u^{2}}{u^{2}}$

Étape 3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \frac{3}{u} + \frac{- x^{2} u^{2}}{u^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $u^{2}$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = \frac{3}{u} + \frac{- x^{2} u^{2}}{u^{2}}$

Étape 3.3.1.2.2

Divisez $- x^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{3}{u} - x^{2}$

Étape 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{3}{u} - x^{2}}$

Étape 5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3}{u} - x^{2}}$ .

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Étape 5.1

Pour écrire $- x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{u}{u}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3}{u} - x^{2} \cdot \frac{u}{u}}$

Étape 5.2

Associez $- x^{2}$ et $\frac{u}{u}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3}{u} + \frac{- x^{2} u}{u}}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 - x^{2} u}{u}}$

Étape 5.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{3 - x^{2} u}{u}}$ comme $\frac{\sqrt{3 - x^{2} u}}{\sqrt{u}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u}}{\sqrt{u}}$

Étape 5.5

Multipliez $\frac{\sqrt{3 - x^{2} u}}{\sqrt{u}}$ par $\frac{\sqrt{u}}{\sqrt{u}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{\sqrt{u}}{\sqrt{u}}$

Étape 5.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3 - x^{2} u}}{\sqrt{u}}$ par $\frac{\sqrt{u}}{\sqrt{u}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{\sqrt{u} \sqrt{u}}$

Étape 5.6.2

Élevez $\sqrt{u}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{{\sqrt{u}}^{1} \sqrt{u}}$

Étape 5.6.3

Élevez $\sqrt{u}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{{\sqrt{u}}^{1} {\sqrt{u}}^{1}}$

Étape 5.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{{\sqrt{u}}^{1 + 1}}$

Étape 5.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{{\sqrt{u}}^{2}}$

Étape 5.6.6

Réécrivez ${\sqrt{u}}^{2}$ comme $u$ .

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Étape 5.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{{(u^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{u^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{u^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{u^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{u^{1}}$

Étape 5.6.6.5

Simplifiez

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{u}$

Étape 5.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(3 - x^{2} u) u}}{u}$

Étape 5.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(3 - x^{2} u) u}}{u}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{u (3 - x^{2} u)}}{u}$

Étape 6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{u (3 - x^{2} u)}}{u}$

Étape 6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{u (3 - x^{2} u)}}{u}$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{u (3 - x^{2} u)}}{u}$

$y = - \frac{\sqrt{u (3 - x^{2} u)}}{u}$

$y = \frac{\sqrt{u (3 - x^{2} u)}}{u}$

$y = - \frac{\sqrt{u (3 - x^{2} u)}}{u}$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt{u (3 - x^{2} u)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$u (3 - x^{2} u) \geq 0$

Étape 8

Résolvez $u$ .

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Étape 8.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$3 - x^{2} u = 0$

Étape 8.2

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

Étape 8.3

Définissez $3 - x^{2} u$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 8.3.1

Définissez $3 - x^{2} u$ égal à $0$ .

$3 - x^{2} u = 0$

Étape 8.3.2

Résolvez $3 - x^{2} u = 0$ pour $u$ .

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Étape 8.3.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} u = - 3$

Étape 8.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} u = - 3$ par $- x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 8.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} u = - 3$ par $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} u}{- x^{2}} = \frac{- 3}{- x^{2}}$

Étape 8.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2} u}{x^{2}} = \frac{- 3}{- x^{2}}$

Étape 8.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 8.3.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} u}{x^{2}} = \frac{- 3}{- x^{2}}$

Étape 8.3.2.2.2.2.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 3}{- x^{2}}$

Étape 8.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$u = \frac{3}{x^{2}}$

Étape 8.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $u (3 - x^{2} u) \geq 0$ vraie.

$u = 0$

$u = \frac{3}{x^{2}}$

$u = 0$

$u = \frac{3}{x^{2}}$

Étape 9

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt{u (3 - x^{2} u)}}{u}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$u = 0$

Étape 10

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $u$ qui rendent l’expression définie.

$(N o (Min i m u m), N o (Max i m u m)]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${u | N o (Min i m u m) < u \leq N o (Max i m u m)}$