Algèbre linéaire Exemples

$y = \ln (x^{2} + \sqrt{x}) + a r c t g (\frac{e^{x}}{x}) + \frac{1}{x}$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\ln (x^{2} + \sqrt{x})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} + \sqrt{x} > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\sqrt{x} > - x^{2}$

Étape 2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{x}}^{2} > {(- x^{2})}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- x^{2})}^{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x^{2})}^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x^{2})}^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} > {(- x^{2})}^{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Simplifiez

$x > {(- x^{2})}^{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez ${(- x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x^{2}$ .

$x > {(- 1)}^{2} {(x^{2})}^{2}$

Étape 2.3.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x > 1 {(x^{2})}^{2}$

Étape 2.3.3.1.3

Multipliez ${(x^{2})}^{2}$ par $1$ .

$x > {(x^{2})}^{2}$

Étape 2.3.3.1.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.3.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x > x^{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.3.1.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x > x^{4}$

Étape 2.4

Résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Soustrayez $x^{4}$ des deux côtés de l’inégalité.

$x - x^{4} > 0$

Étape 2.4.2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x - x^{4} = 0$

Étape 2.4.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.4.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x - x^{4}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x - x^{4} = 0$

Étape 2.4.3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{4} = 0$

Étape 2.4.3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- x^{4}$ .

$x \cdot 1 + x (- x^{3}) = 0$

Étape 2.4.3.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- x^{3})$ .

$x (1 - x^{3}) = 0$

Étape 2.4.3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x (1^{3} - x^{3}) = 0$

Étape 2.4.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$x ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 0$

Étape 2.4.3.4

Factorisez.

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Étape 2.4.3.4.1

Simplifiez

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Étape 2.4.3.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 0$

Étape 2.4.3.4.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 0$

Étape 2.4.3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$

Étape 2.4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

$1 + x + x^{2} = 0$

Étape 2.4.5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4.6

Définissez $1 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.6.1

Définissez $1 - x$ égal à $0$ .

$1 - x = 0$

Étape 2.4.6.2

Résolvez $1 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 2.4.6.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.4.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.4.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.6.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.4.6.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.4.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.6.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 2.4.7

Définissez $1 + x + x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.7.1

Définissez $1 + x + x^{2}$ égal à $0$ .

$1 + x + x^{2} = 0$

Étape 2.4.7.2

Résolvez $1 + x + x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.3

Simplifiez

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Étape 2.4.7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.7.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.4.7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.7.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.7.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.7.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.4.7.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.4.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.4.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.7.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.7.2.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.7.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Étape 2.4.7.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Étape 2.4.7.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.7.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.7.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.7.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.4.7.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.5.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.5.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.7.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.7.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.7.2.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.7.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Étape 2.4.7.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Étape 2.4.7.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.7.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$ vraie.

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5

Déterminez le domaine de $x^{2} + \sqrt{x}$ .

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Étape 2.5.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 2.5.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 2.6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Étape 2.7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 2.7.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2)}^{2} + \sqrt{- 2} > 0$

Étape 2.7.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 2.7.2.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

${(0.5)}^{2} + \sqrt{0.5} > 0$

Étape 2.7.2.3

Le côté gauche $0.95710678$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 2.7.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{2} + \sqrt{4} > 0$

Étape 2.7.3.3

Le côté gauche $18$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Vrai

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Vrai

Étape 2.8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < 1$ ou $x > 1$

Étape 3

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 4

Définissez le dénominateur dans $\frac{e^{x}}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(0, 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0, x \neq 1}$

Étape 6