Algèbre linéaire Exemples

${| p + q |}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Retirez la valeur absolue dans ${| p + q |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

${(p + q)}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Étape 1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| p - q |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Retirez la valeur absolue dans ${| p |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Étape 2.2

Retirez la valeur absolue dans ${| q |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 q^{2}$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant $p$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $2 p^{2}$ des deux côtés de l’équation.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Réécrivez ${(p + q)}^{2}$ comme $(p + q) (p + q)$ .

$(p + q) (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.2.2

Développez $(p + q) (p + q)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (p + q) + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$p \cdot p + p q + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$p \cdot p + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Multipliez $p$ par $p$ .

$p^{2} + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.2.3.1.2

Multipliez $q$ par $q$ .

$p^{2} + p q + q p + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $p q$ et $q p$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $q$ et $p$ .

$p^{2} + p q + p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.2.3.2.2

Additionnez $p q$ et $p q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.2.4

Réécrivez ${(p - q)}^{2}$ comme $(p - q) (p - q)$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + (p - q) (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.2.5

Développez $(p - q) (p - q)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p (p - q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.6.1.1

Multipliez $p$ par $p$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.2.6.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.2.6.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q \cdot q - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.2.6.1.4

Multipliez $q$ par $q$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.6.1.4.1

Déplacez $q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 (q \cdot q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.2.6.1.4.2

Multipliez $q$ par $q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.2.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.2.6.1.6

Multipliez $q^{2}$ par $1$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.2.6.2

Soustrayez $q p$ de $- p q$ .

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Étape 3.2.6.2.1

Déplacez $q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - 1 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.2.6.2.2

Soustrayez $p q$ de $- p q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.3

Associez les termes opposés dans $p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Soustrayez $2 p q$ de $2 p q$ .

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + 0 + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.3.2

Additionnez $p^{2} + q^{2} + p^{2}$ et $0$ .

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.4

Additionnez $p^{2}$ et $p^{2}$ .

$2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.5

Associez les termes opposés dans $2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2}$ .

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Étape 3.5.1

Soustrayez $2 p^{2}$ de $2 p^{2}$ .

$q^{2} + q^{2} + 0 = 2 q^{2}$

Étape 3.5.2

Additionnez $q^{2} + q^{2}$ et $0$ .

$q^{2} + q^{2} = 2 q^{2}$

Étape 3.6

Additionnez $q^{2}$ et $q^{2}$ .

$2 q^{2} = 2 q^{2}$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $2 q^{2} = 2 q^{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 q^{2} = 2 q^{2}$ par $2$ .

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $q^{2}$ par $1$ .

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Étape 4.3.1.2

Divisez $q^{2}$ par $1$ .

$q^{2} = q^{2}$

Étape 5

Comme les exposants sont égaux, les bases des exposants des deux côtés de l’équation doivent être égales.

$| q | = | q |$

Étape 6

Résolvez $q$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation de la valeur absolue sous la forme de quatre équations sans barre de valeur absolue.

$q = q$

$q = - q$

$- q = q$

$- q = - q$

Étape 6.2

Après la simplification, il n’y a que deux équations uniques à résoudre.

$q = q$

$q = - q$

Étape 6.3

Résolvez $q = q$ pour $q$ .

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Étape 6.3.1

Déplacez tous les termes contenant $q$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.3.1.1

Soustrayez $q$ des deux côtés de l’équation.

$q - q = 0$

Étape 6.3.1.2

Soustrayez $q$ de $q$ .

$0 = 0$

Étape 6.3.2

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie.

Toujours vrai

Étape 6.4

Résolvez $q = - q$ pour $q$ .

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Étape 6.4.1

Déplacez tous les termes contenant $q$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.4.1.1

Ajoutez $q$ aux deux côtés de l’équation.

$q + q = 0$

Étape 6.4.1.2

Additionnez $q$ et $q$ .

$2 q = 0$

Étape 6.4.2

Divisez chaque terme dans $2 q = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 q = 0$ par $2$ .

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 6.4.2.2.1.2

Divisez $q$ par $1$ .

$q = \frac{0}{2}$

Étape 6.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$q = 0$

Étape 6.5

Indiquez toutes les solutions.

$q = 0$

Étape 7

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 8