Algèbre linéaire Exemples

$\frac{\frac{x^{2} - 81}{3 x - 18}}{\frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 3 x - 54}}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 81}{3 x - 18}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 x - 18 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $18$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 18$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 18$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 18$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{18}{3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{18}{3}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{18}{3}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Divisez $18$ par $3$ .

$x = 6$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 3 x - 54}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + 3 x - 54 = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Factorisez $x^{2} + 3 x - 54$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 54$ et dont la somme est $3$ .

$- 6, 9$

Étape 4.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 6) (x + 9) = 0$

Étape 4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 9 = 0$

Étape 4.3

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 4.4

Définissez $x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $x + 9$ égal à $0$ .

$x + 9 = 0$

Étape 4.4.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 9$

Étape 4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 6) (x + 9) = 0$ vraie.

$x = 6, - 9$

Étape 5

Définissez le dénominateur dans $\frac{\frac{x^{2} - 81}{3 x - 18}}{\frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 3 x - 54}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 3 x - 54} = 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} + 18 x + 81 = 0$

Étape 6.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 6.2.1.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$x^{2} + 18 x + 9^{2} = 0$

Étape 6.2.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

Étape 6.2.1.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2} = 0$

Étape 6.2.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 9$ .

${(x + 9)}^{2} = 0$

Étape 6.2.2

Définissez le $x + 9$ égal à $0$ .

$x + 9 = 0$

Étape 6.2.3

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 9$

Étape 6.3

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 3 x - 54} = 0$ vrai.

$Aucune solution$

Étape 7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 6) \cup (6, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 6, - 9}$

Étape 8