Algèbre linéaire Exemples

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{81} - \frac{y^{2}}{144} = 1$

Étape 1

Simplifiez $\frac{{(x - 3)}^{2}}{81} - \frac{y^{2}}{144}$ .

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{{(x - 3)}^{2}}{81}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{81} \cdot \frac{16}{16} - \frac{y^{2}}{144} = 1$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{y^{2}}{144}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{81} \cdot \frac{16}{16} - \frac{y^{2}}{144} \cdot \frac{9}{9} = 1$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $1296$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{{(x - 3)}^{2}}{81}$ par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2} \cdot 16}{81 \cdot 16} - \frac{y^{2}}{144} \cdot \frac{9}{9} = 1$

Étape 1.3.2

Multipliez $81$ par $16$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2} \cdot 16}{1296} - \frac{y^{2}}{144} \cdot \frac{9}{9} = 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $\frac{y^{2}}{144}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2} \cdot 16}{1296} - \frac{y^{2} \cdot 9}{144 \cdot 9} = 1$

Étape 1.3.4

Multipliez $144$ par $9$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2} \cdot 16}{1296} - \frac{y^{2} \cdot 9}{1296} = 1$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(x - 3)}^{2} \cdot 16 - y^{2} \cdot 9}{1296} = 1$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Réécrivez ${(x - 3)}^{2} \cdot 16$ comme ${((x - 3) \cdot 4)}^{2}$ .

$\frac{{((x - 3) \cdot 4)}^{2} - y^{2} \cdot 9}{1296} = 1$

Étape 1.5.2

Réécrivez $y^{2} \cdot 9$ comme ${(y \cdot 3)}^{2}$ .

$\frac{{((x - 3) \cdot 4)}^{2} - {(y \cdot 3)}^{2}}{1296} = 1$

Étape 1.5.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = (x - 3) \cdot 4$ et $b = y \cdot 3$ .

$\frac{((x - 3) \cdot 4 + y \cdot 3) ((x - 3) \cdot 4 - (y \cdot 3))}{1296} = 1$

Étape 1.5.4

Simplifiez

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Étape 1.5.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x \cdot 4 - 3 \cdot 4 + y \cdot 3) ((x - 3) \cdot 4 - (y \cdot 3))}{1296} = 1$

Étape 1.5.4.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{(4 \cdot x - 3 \cdot 4 + y \cdot 3) ((x - 3) \cdot 4 - (y \cdot 3))}{1296} = 1$

Étape 1.5.4.3

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{(4 \cdot x - 12 + y \cdot 3) ((x - 3) \cdot 4 - (y \cdot 3))}{1296} = 1$

Étape 1.5.4.4

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$\frac{(4 x - 12 + 3 \cdot y) ((x - 3) \cdot 4 - (y \cdot 3))}{1296} = 1$

Étape 1.5.4.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 x - 12 + 3 y) (x \cdot 4 - 3 \cdot 4 - (y \cdot 3))}{1296} = 1$

Étape 1.5.4.6

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{(4 x - 12 + 3 y) (4 \cdot x - 3 \cdot 4 - (y \cdot 3))}{1296} = 1$

Étape 1.5.4.7

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{(4 x - 12 + 3 y) (4 \cdot x - 12 - (y \cdot 3))}{1296} = 1$

Étape 1.5.4.8

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$\frac{(4 x - 12 + 3 y) (4 x - 12 - (3 \cdot y))}{1296} = 1$

Étape 1.5.4.9

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{(4 x - 12 + 3 y) (4 x - 12 - 3 y)}{1296} = 1$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $1296$ .

$\frac{(4 x - 12 + 3 y) (4 x - 12 - 3 y)}{1296} \cdot 1296 = 1 \cdot 1296$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez $\frac{(4 x - 12 + 3 y) (4 x - 12 - 3 y)}{1296} \cdot 1296$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $1296$ .

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Étape 3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(4 x - 12 + 3 y) (4 x - 12 - 3 y)}{1296} \cdot 1296 = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$(4 x - 12 + 3 y) (4 x - 12 - 3 y) = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.2

Développez $(4 x - 12 + 3 y) (4 x - 12 - 3 y)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$4 x (4 x) + 4 x \cdot - 12 + 4 x (- 3 y) - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 3 y (4 x) + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1.1.3.1

Associez les termes opposés dans $4 x (4 x) + 4 x \cdot - 12 + 4 x (- 3 y) - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 3 y (4 x) + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y)$ .

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Étape 3.1.1.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $4 x (- 3 y)$ et $3 y (4 x)$ .

$4 x (4 x) + 4 x \cdot - 12 - 3 \cdot 4 x y - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 3 \cdot 4 x y + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.3.1.2

Additionnez $- 3 \cdot 4 x y$ et $3 \cdot 4 x y$ .

$4 x (4 x) + 4 x \cdot - 12 - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 0 + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.3.1.3

Additionnez $4 x (4 x) + 4 x \cdot - 12 - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y)$ et $0$ .

$4 x (4 x) + 4 x \cdot - 12 - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 12 - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.3.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1.3.2.2.1

Déplacez $x$ .

$4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 12 - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.3.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 12 - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.3.2.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$16 x^{2} + 4 x \cdot - 12 - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.3.2.4

Multipliez $- 12$ par $4$ .

$16 x^{2} - 48 x - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.3.2.5

Multipliez $4$ par $- 12$ .

$16 x^{2} - 48 x - 48 x - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.3.2.6

Multipliez $- 12$ par $- 12$ .

$16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144 - 12 (- 3 y) + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.3.2.7

Multipliez $- 3$ par $- 12$ .

$16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144 + 36 y + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.3.2.8

Multipliez $- 12$ par $3$ .

$16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144 + 36 y - 36 y + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.3.2.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144 + 36 y - 36 y + 3 \cdot - 3 y \cdot y = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.3.2.10

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1.3.2.10.1

Déplacez $y$ .

$16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144 + 36 y - 36 y + 3 \cdot - 3 (y \cdot y) = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.3.2.10.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144 + 36 y - 36 y + 3 \cdot - 3 y^{2} = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.3.2.11

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144 + 36 y - 36 y - 9 y^{2} = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.3.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.1.1.3.3.1

Associez les termes opposés dans $16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144 + 36 y - 36 y - 9 y^{2}$ .

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Étape 3.1.1.3.3.1.1

Soustrayez $36 y$ de $36 y$ .

$16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144 + 0 - 9 y^{2} = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.3.3.1.2

Additionnez $16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144$ et $0$ .

$16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144 - 9 y^{2} = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.3.3.2

Soustrayez $48 x$ de $- 48 x$ .

$16 x^{2} - 96 x + 144 - 9 y^{2} = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.3.3.3

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.1.1.3.3.3.1

Déplacez $144$ .

$16 x^{2} - 96 x - 9 y^{2} + 144 = 1 \cdot 1296$

Étape 3.1.1.3.3.3.2

Déplacez $- 96 x$ .

$16 x^{2} - 9 y^{2} - 96 x + 144 = 1 \cdot 1296$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Multipliez $1296$ par $1$ .

$16 x^{2} - 9 y^{2} - 96 x + 144 = 1296$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $16 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 9 y^{2} - 96 x + 144 = 1296 - 16 x^{2}$

Étape 4.1.2

Ajoutez $96 x$ aux deux côtés de l’équation.

$- 9 y^{2} + 144 = 1296 - 16 x^{2} + 96 x$

Étape 4.1.3

Soustrayez $144$ des deux côtés de l’équation.

$- 9 y^{2} = 1296 - 16 x^{2} + 96 x - 144$

Étape 4.1.4

Soustrayez $144$ de $1296$ .

$- 9 y^{2} = - 16 x^{2} + 96 x + 1152$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $- 9 y^{2} = - 16 x^{2} + 96 x + 1152$ par $- 9$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 9 y^{2} = - 16 x^{2} + 96 x + 1152$ par $- 9$ .

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{- 16 x^{2}}{- 9} + \frac{96 x}{- 9} + \frac{1152}{- 9}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 9$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{- 16 x^{2}}{- 9} + \frac{96 x}{- 9} + \frac{1152}{- 9}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{- 16 x^{2}}{- 9} + \frac{96 x}{- 9} + \frac{1152}{- 9}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y^{2} = \frac{16 x^{2}}{9} + \frac{96 x}{- 9} + \frac{1152}{- 9}$

Étape 4.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $96$ et $- 9$ .

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Étape 4.2.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $96 x$ .

$y^{2} = \frac{16 x^{2}}{9} + \frac{3 (32 x)}{- 9} + \frac{1152}{- 9}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$y^{2} = \frac{16 x^{2}}{9} + \frac{3 (32 x)}{3 (- 3)} + \frac{1152}{- 9}$

Étape 4.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = \frac{16 x^{2}}{9} + \frac{3 (32 x)}{3 \cdot - 3} + \frac{1152}{- 9}$

Étape 4.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \frac{16 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{- 3} + \frac{1152}{- 9}$

Étape 4.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = \frac{16 x^{2}}{9} - \frac{32 x}{3} + \frac{1152}{- 9}$

Étape 4.2.3.1.4

Divisez $1152$ par $- 9$ .

$y^{2} = \frac{16 x^{2}}{9} - \frac{32 x}{3} - 128$

Étape 4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{2}}{9} - \frac{32 x}{3} - 128}$

Étape 4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{16 x^{2}}{9} - \frac{32 x}{3} - 128}$ .

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Étape 4.4.1

Pour écrire $- \frac{32 x}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{2}}{9} - \frac{32 x}{3} \cdot \frac{3}{3} - 128}$

Étape 4.4.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.4.2.1

Multipliez $\frac{32 x}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{2}}{9} - \frac{32 x \cdot 3}{3 \cdot 3} - 128}$

Étape 4.4.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{2}}{9} - \frac{32 x \cdot 3}{9} - 128}$

Étape 4.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{2} - 32 x \cdot 3}{9} - 128}$

Étape 4.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.4.1

Factorisez $16 x$ à partir de $16 x^{2} - 32 x \cdot 3$ .

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Étape 4.4.4.1.1

Factorisez $16 x$ à partir de $16 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x (x) - 32 x \cdot 3}{9} - 128}$

Étape 4.4.4.1.2

Factorisez $16 x$ à partir de $- 32 x \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x (x) + 16 x (- 2 \cdot 3)}{9} - 128}$

Étape 4.4.4.1.3

Factorisez $16 x$ à partir de $16 x (x) + 16 x (- 2 \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x (x - 2 \cdot 3)}{9} - 128}$

Étape 4.4.4.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x (x - 6)}{9} - 128}$

Étape 4.4.5

Pour écrire $- 128$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x (x - 6)}{9} - 128 \cdot \frac{9}{9}}$

Étape 4.4.6

Simplifiez les termes.

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Étape 4.4.6.1

Associez $- 128$ et $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x (x - 6)}{9} + \frac{- 128 \cdot 9}{9}}$

Étape 4.4.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x (x - 6) - 128 \cdot 9}{9}}$

Étape 4.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.7.1

Factorisez $16$ à partir de $16 x (x - 6) - 128 \cdot 9$ .

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Étape 4.4.7.1.1

Factorisez $16$ à partir de $16 x (x - 6)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (x (x - 6)) - 128 \cdot 9}{9}}$

Étape 4.4.7.1.2

Factorisez $16$ à partir de $- 128 \cdot 9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (x (x - 6)) + 16 (- 8 \cdot 9)}{9}}$

Étape 4.4.7.1.3

Factorisez $16$ à partir de $16 (x (x - 6)) + 16 (- 8 \cdot 9)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (x (x - 6) - 8 \cdot 9)}{9}}$

Étape 4.4.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (x \cdot x + x \cdot - 6 - 8 \cdot 9)}{9}}$

Étape 4.4.7.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (x^{2} + x \cdot - 6 - 8 \cdot 9)}{9}}$

Étape 4.4.7.4

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (x^{2} - 6 \cdot x - 8 \cdot 9)}{9}}$

Étape 4.4.7.5

Multipliez $- 8$ par $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (x^{2} - 6 x - 72)}{9}}$

Étape 4.4.7.6

Factorisez $x^{2} - 6 x - 72$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.4.7.6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 72$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 12, 6$

Étape 4.4.7.6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 ((x - 12) (x + 6))}{9}}$

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (x - 12) (x + 6)}{9}}$

Étape 4.4.8

Réécrivez $\frac{16 (x - 12) (x + 6)}{9}$ comme ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x - 12) (x + 6))$ .

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Étape 4.4.8.1

Factorisez la puissance parfaite ${(2^{2})}^{2}$ dans $16 (x - 12) (x + 6)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x - 12) (x + 6))}{9}}$

Étape 4.4.8.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x - 12) (x + 6))}{3^{2} \cdot 1}}$

Étape 4.4.8.3

Réorganisez la fraction $\frac{{(2^{2})}^{2} ((x - 12) (x + 6))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x - 12) (x + 6))}$

Étape 4.4.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{(x - 12) (x + 6)}$

Étape 4.4.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \pm \frac{4}{3} \sqrt{(x - 12) (x + 6)}$

Étape 4.4.11

Associez $\frac{4}{3}$ et $\sqrt{(x - 12) (x + 6)}$ .

$y = \pm \frac{4 \sqrt{(x - 12) (x + 6)}}{3}$

Étape 4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{4 \sqrt{(x - 12) (x + 6)}}{3}$

Étape 4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{4 \sqrt{(x - 12) (x + 6)}}{3}$

Étape 4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{4 \sqrt{(x - 12) (x + 6)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x - 12) (x + 6)}}{3}$

$y = \frac{4 \sqrt{(x - 12) (x + 6)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x - 12) (x + 6)}}{3}$

$y = \frac{4 \sqrt{(x - 12) (x + 6)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x - 12) (x + 6)}}{3}$

Étape 5

Définissez le radicande dans $\sqrt{(x - 12) (x + 6)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(x - 12) (x + 6) \geq 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 12 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 6.2

Définissez $x - 12$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Définissez $x - 12$ égal à $0$ .

$x - 12 = 0$

Étape 6.2.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 12$

Étape 6.3

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 6.3.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 6.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 12) (x + 6) \geq 0$ vraie.

$x = 12, - 6$

Étape 6.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 6$

$- 6 < x < 12$

$x > 12$

Étape 6.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 6.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$((- 8) - 12) ((- 8) + 6) \geq 0$

Étape 6.6.1.3

Le côté gauche $40$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 6.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < 12$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < 12$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 6.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$((0) - 12) ((0) + 6) \geq 0$

Étape 6.6.2.3

Le côté gauche $- 72$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 12$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 12$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 14$

Étape 6.6.3.2

Remplacez $x$ par $14$ dans l’inégalité d’origine.

$((14) - 12) ((14) + 6) \geq 0$

Étape 6.6.3.3

Le côté gauche $40$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 6.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 6$ Vrai

$- 6 < x < 12$ Faux

$x > 12$ Vrai

$x < - 6$ Vrai

$- 6 < x < 12$ Faux

$x > 12$ Vrai

Étape 6.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 6$ ou $x \geq 12$

Étape 7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 6] \cup [12, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - 6, x \geq 12}$

Étape 8