Algèbre linéaire Exemples

${(3 - h)}^{2} + {(- 5 - k)}^{2} = 2 {(\sqrt{7})}^{2}$

Étape 1

Soustrayez ${(- 5 - k)}^{2}$ des deux côtés de l’équation.

${(3 - h)}^{2} = 2 {\sqrt{7}}^{2} - {(- 5 - k)}^{2}$

Étape 2

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 - h)}^{2} = 2 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 5 - k)}^{2}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 5 - k)}^{2}$

Étape 2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{2}{2}} - {(- 5 - k)}^{2}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.1

Annulez le facteur commun.

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{2}{2}} - {(- 5 - k)}^{2}$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression.

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{1} - {(- 5 - k)}^{2}$

Étape 2.5

Évaluez l’exposant.

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7 - {(- 5 - k)}^{2}$

Étape 3

Multipliez $2$ par $7$ .

${(3 - h)}^{2} = 14 - {(- 5 - k)}^{2}$

Étape 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - {(- 5 - k)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez $\pm \sqrt{14 - {(- 5 - k)}^{2}}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez ${(- 5 - k)}^{2}$ comme $(- 5 - k) (- 5 - k)$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - ((- 5 - k) (- 5 - k))}$

Étape 5.2

Développez $(- 5 - k) (- 5 - k)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 (- 5 - k) - k (- 5 - k))}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 \cdot - 5 - 5 (- k) - k (- 5 - k))}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 \cdot - 5 - 5 (- k) - k \cdot - 5 - k (- k))}$

Étape 5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 - 5 (- k) - k \cdot - 5 - k (- k))}$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k - k \cdot - 5 - k (- k))}$

Étape 5.3.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - k (- k))}$

Étape 5.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 k \cdot k)}$

Étape 5.3.1.5

Multipliez $k$ par $k$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.5.1

Déplacez $k$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 (k \cdot k))}$

Étape 5.3.1.5.2

Multipliez $k$ par $k$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 k^{2})}$

Étape 5.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k + 1 k^{2})}$

Étape 5.3.1.7

Multipliez $k^{2}$ par $1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k + k^{2})}$

Étape 5.3.2

Additionnez $5 k$ et $5 k$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 10 k + k^{2})}$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 1 \cdot 25 - (10 k) - k^{2}}$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 25 - (10 k) - k^{2}}$

Étape 5.5.2

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 25 - 10 k - k^{2}}$

Étape 5.6

Soustrayez $25$ de $14$ .

$3 - h = \pm \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

Étape 6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$3 - h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

Étape 6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- h}{- 1} = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{h}{1} = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.3.2.2

Divisez $h$ par $1$ .

$h = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1}$ .

$h = - 1 \cdot \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ comme $- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ .

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.3.3.1.3

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

Étape 6.4

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$3 - h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

Étape 6.5

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$

Étape 6.6

Divisez chaque terme dans $- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.6.1

Divisez chaque terme dans $- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- h}{- 1} = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{h}{1} = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.6.2.2

Divisez $h$ par $1$ .

$h = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$h = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.6.3.1.2

Divisez $\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ par $1$ .

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.6.3.1.3

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

Étape 6.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- 11 - 10 k - k^{2} \geq 0$

Étape 8

Résolvez $k$ .

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Étape 8.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- 11 - 10 k - k^{2} = 0$

Étape 8.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 8.3

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = - 10$ et $c = - 11$ dans la formule quadratique et résolvez pour $k$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 11)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ .

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Étape 8.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.4.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 11$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.4.1.3

Soustrayez $44$ de $100$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.4.1.4

Réécrivez $56$ comme $2^{2} \cdot 14$ .

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Étape 8.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $56$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Étape 8.4.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

Étape 8.4.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ .

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

Étape 8.4.5

Réécrivez $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ comme $- (5 \pm \sqrt{14})$ .

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

Étape 8.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 8.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.5.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ .

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Étape 8.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 11$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.1.3

Soustrayez $44$ de $100$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.1.4

Réécrivez $56$ comme $2^{2} \cdot 14$ .

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Étape 8.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $56$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Étape 8.5.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

Étape 8.5.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ .

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

Étape 8.5.5

Réécrivez $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ comme $- (5 \pm \sqrt{14})$ .

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

Étape 8.5.6

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$k = - (5 + \sqrt{14})$

Étape 8.5.7

Appliquez la propriété distributive.

$k = - 1 \cdot 5 - \sqrt{14}$

Étape 8.5.8

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$k = - 5 - \sqrt{14}$

Étape 8.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 8.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.6.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ .

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Étape 8.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.6.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 11$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.6.1.3

Soustrayez $44$ de $100$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.6.1.4

Réécrivez $56$ comme $2^{2} \cdot 14$ .

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Étape 8.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $56$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Étape 8.6.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

Étape 8.6.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ .

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

Étape 8.6.5

Réécrivez $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ comme $- (5 \pm \sqrt{14})$ .

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

Étape 8.6.6

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$k = - (5 - \sqrt{14})$

Étape 8.6.7

Appliquez la propriété distributive.

$k = - 1 \cdot 5 + \sqrt{14}$

Étape 8.6.8

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$k = - 5 + \sqrt{14}$

Étape 8.6.9

Multipliez $- - \sqrt{14}$ .

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Étape 8.6.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$k = - 5 + 1 \sqrt{14}$

Étape 8.6.9.2

Multipliez $\sqrt{14}$ par $1$ .

$k = - 5 + \sqrt{14}$

Étape 8.7

Consolidez les solutions.

$k = - 5 - \sqrt{14}, - 5 + \sqrt{14}$

Étape 8.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$k < - 5 - \sqrt{14}$

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$

$k > - 5 + \sqrt{14}$

Étape 8.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $k < - 5 - \sqrt{14}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $k < - 5 - \sqrt{14}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$k = - 11$

Étape 8.9.1.2

Remplacez $k$ par $- 11$ dans l’inégalité d’origine.

$- 11 - 10 \cdot - 11 - {(- 11)}^{2} \geq 0$

Étape 8.9.1.3

Le côté gauche $- 22$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$k = - 5$

Étape 8.9.2.2

Remplacez $k$ par $- 5$ dans l’inégalité d’origine.

$- 11 - 10 \cdot - 5 - {(- 5)}^{2} \geq 0$

Étape 8.9.2.3

Le côté gauche $14$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $k > - 5 + \sqrt{14}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $k > - 5 + \sqrt{14}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$k = 0$

Étape 8.9.3.2

Remplacez $k$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- 11 - 10 \cdot 0 - {(0)}^{2} \geq 0$

Étape 8.9.3.3

Le côté gauche $- 11$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$k < - 5 - \sqrt{14}$ Faux

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ Vrai

$k > - 5 + \sqrt{14}$ Faux

$k < - 5 - \sqrt{14}$ Faux

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ Vrai

$k > - 5 + \sqrt{14}$ Faux

Étape 8.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 5 - \sqrt{14} \leq k \leq - 5 + \sqrt{14}$

Étape 9

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $k$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 5 - \sqrt{14}, - 5 + \sqrt{14}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${k | - 5 - \sqrt{14} \leq k \leq - 5 + \sqrt{14}}$

Étape 10