Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

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Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $3$ est la matrice carrée $3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Étape 1.3.2

Remplacez $I_{3}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

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Étape 1.4.3.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & 1 \\ - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.3

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & 1 \\ - 3 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & 1 \\ - 3 & 1 - λ & 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.5

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & 1 \\ - 3 & 1 - λ & 0 \\ - 3 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & 1 \\ - 3 & 1 - λ & 0 \\ - 3 & 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

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Étape 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

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Étape 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

Étape 1.5.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

Étape 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

Étape 1.5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

Étape 1.5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 1.5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) ((5 - λ) (1 - λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Développez $(5 - λ) (1 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 (1 - λ) - λ (1 - λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Étape 1.5.4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 \cdot 1 + 5 (- λ) - λ (1 - λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Étape 1.5.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 \cdot 1 + 5 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.2.1.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 + 5 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 5 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 5 λ - λ - λ (- λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 5 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 5 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 5 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 5 λ - λ + 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 5 λ - λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.2

Soustrayez $λ$ de $- 5 λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 6 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Étape 1.5.4.2.1.3

Multipliez $- (- 3 \cdot 1)$ .

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Étape 1.5.4.2.1.3.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 6 λ + λ^{2} - - 3) + 0$

Étape 1.5.4.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 6 λ + λ^{2} + 3) + 0$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $5$ et $3$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (- 6 λ + λ^{2} + 8) + 0$

Étape 1.5.4.2.3

Remettez dans l’ordre $- 6 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) + 0$

Étape 1.5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.5.1

Associez les termes opposés dans $0 + (1 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) + 0$ .

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Étape 1.5.5.1.1

Additionnez $0$ et $(1 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8)$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) + 0$

Étape 1.5.5.1.2

Additionnez $(1 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8)$ et $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8)$

Étape 1.5.5.2

Développez $(1 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 6 λ) + 1 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.3.1

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 6 λ) + 1 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.5.3.2

Multipliez $- 6 λ$ par $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 1 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.5.3.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.5.3.4

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.5.3.4.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - (λ^{2} λ) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.5.3.4.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 1.5.5.3.4.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.5.3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{2 + 1} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.5.3.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{3} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.5.3.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ \cdot λ - λ \cdot 8$

Étape 1.5.5.3.6

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.5.3.6.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 (λ \cdot λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.5.3.6.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ^{2} - λ \cdot 8$

Étape 1.5.5.3.7

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{3} + 6 λ^{2} - λ \cdot 8$

Étape 1.5.5.3.8

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{3} + 6 λ^{2} - 8 λ$

Étape 1.5.5.4

Additionnez $λ^{2}$ et $6 λ^{2}$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{3} - 8 λ$

Étape 1.5.5.5

Soustrayez $8 λ$ de $- 6 λ$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - 14 λ + 8 - λ^{3}$

Étape 1.5.5.6

Déplacez $8$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - 14 λ - λ^{3} + 8$

Étape 1.5.5.7

Déplacez $- 14 λ$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - λ^{3} - 14 λ + 8$

Étape 1.5.5.8

Remettez dans l’ordre $7 λ^{2}$ et $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 7 λ^{2} - 14 λ + 8$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$- λ^{3} + 7 λ^{2} - 14 λ + 8 = 0$

Étape 1.7

Résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.7.1.1

Regroupez les termes.

$- λ^{3} + 8 + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

Étape 1.7.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- λ^{3} + 8$ .

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Étape 1.7.1.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- λ^{3}$ .

$- (λ^{3}) + 8 + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

Étape 1.7.1.2.2

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

$- (λ^{3}) - 1 \cdot - 8 + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

Étape 1.7.1.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (λ^{3}) - 1 (- 8)$ .

$- (λ^{3} - 8) + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

Étape 1.7.1.3

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$- (λ^{3} - 2^{3}) + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

Étape 1.7.1.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = λ$ et $b = 2$ .

$- ((λ - 2) (λ^{2} + λ \cdot 2 + 2^{2})) + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

Étape 1.7.1.5

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.5.1.1

Déplacez $2$ à gauche de $λ$ .

$- ((λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 2^{2})) + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

Étape 1.7.1.5.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- ((λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 4)) + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

Étape 1.7.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

Étape 1.7.1.6

Factorisez $7 λ$ à partir de $7 λ^{2} - 14 λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.6.1

Factorisez $7 λ$ à partir de $7 λ^{2}$ .

$- (λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 7 λ (λ) - 14 λ = 0$

Étape 1.7.1.6.2

Factorisez $7 λ$ à partir de $- 14 λ$ .

$- (λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 7 λ (λ) + 7 λ (- 2) = 0$

Étape 1.7.1.6.3

Factorisez $7 λ$ à partir de $7 λ (λ) + 7 λ (- 2)$ .

$- (λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 7 λ (λ - 2) = 0$

Étape 1.7.1.7

Factorisez $λ - 2$ à partir de $- (λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 7 λ (λ - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.7.1

Factorisez $λ - 2$ à partir de $- (λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 4)$ .

$(λ - 2) (- 1 (λ^{2} + 2 λ + 4)) + 7 λ (λ - 2) = 0$

Étape 1.7.1.7.2

Factorisez $λ - 2$ à partir de $7 λ (λ - 2)$ .

$(λ - 2) (- 1 (λ^{2} + 2 λ + 4)) + (λ - 2) (7 λ) = 0$

Étape 1.7.1.7.3

Factorisez $λ - 2$ à partir de $(λ - 2) (- 1 (λ^{2} + 2 λ + 4)) + (λ - 2) (7 λ)$ .

$(λ - 2) (- 1 (λ^{2} + 2 λ + 4) + 7 λ) = 0$

Étape 1.7.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$(λ - 2) (- 1 λ^{2} - 1 (2 λ) - 1 \cdot 4 + 7 λ) = 0$

Étape 1.7.1.9

Simplifiez

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Étape 1.7.1.9.1

Réécrivez $- 1 λ^{2}$ comme $- λ^{2}$ .

$(λ - 2) (- λ^{2} - 1 (2 λ) - 1 \cdot 4 + 7 λ) = 0$

Étape 1.7.1.9.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(λ - 2) (- λ^{2} - 2 λ - 1 \cdot 4 + 7 λ) = 0$

Étape 1.7.1.9.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$(λ - 2) (- λ^{2} - 2 λ - 4 + 7 λ) = 0$

Étape 1.7.1.10

Additionnez $- 2 λ$ et $7 λ$ .

$(λ - 2) (- λ^{2} + 5 λ - 4) = 0$

Étape 1.7.1.11

Factorisez.

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Étape 1.7.1.11.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.7.1.11.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 1.7.1.11.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 λ$ .

$(λ - 2) (- λ^{2} + 5 (λ) - 4) = 0$

Étape 1.7.1.11.1.1.2

Réécrivez $5$ comme $1$ plus $4$

$(λ - 2) (- λ^{2} + (1 + 4) λ - 4) = 0$

Étape 1.7.1.11.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(λ - 2) (- λ^{2} + 1 λ + 4 λ - 4) = 0$

Étape 1.7.1.11.1.1.4

Multipliez $λ$ par $1$ .

$(λ - 2) (- λ^{2} + λ + 4 λ - 4) = 0$

Étape 1.7.1.11.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.7.1.11.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(λ - 2) ((- λ^{2} + λ) + 4 λ - 4) = 0$

Étape 1.7.1.11.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(λ - 2) (λ (- λ + 1) - 4 (- λ + 1)) = 0$

Étape 1.7.1.11.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- λ + 1$ .

$(λ - 2) ((- λ + 1) (λ - 4)) = 0$

Étape 1.7.1.11.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(λ - 2) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$

Étape 1.7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$λ - 2 = 0$

$- λ + 1 = 0$

$λ - 4 = 0$

Étape 1.7.3

Définissez $λ - 2$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.3.1

Définissez $λ - 2$ égal à $0$ .

$λ - 2 = 0$

Étape 1.7.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 2$

Étape 1.7.4

Définissez $- λ + 1$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.4.1

Définissez $- λ + 1$ égal à $0$ .

$- λ + 1 = 0$

Étape 1.7.4.2

Résolvez $- λ + 1 = 0$ pour $λ$ .

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Étape 1.7.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- λ = - 1$

Étape 1.7.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- λ = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.7.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- λ = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.7.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.7.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.7.4.2.2.2.2

Divisez $λ$ par $1$ .

$λ = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.7.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.7.4.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$λ = 1$

Étape 1.7.5

Définissez $λ - 4$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.5.1

Définissez $λ - 4$ égal à $0$ .

$λ - 4 = 0$

Étape 1.7.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 4$

Étape 1.7.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(λ - 2) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$ vraie.

$λ = 2, 1, 4$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- 2$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.4

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.6

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.7

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.8

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.9

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 5 - 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3

Simplify each element.

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Étape 3.2.3.1

Soustrayez $2$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ - 3 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.4

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.5

Soustrayez $2$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ - 3 & - 1 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ - 3 & - 1 & 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.7

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ - 3 & - 1 & 0 \\ - 3 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ - 3 & - 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.9

Soustrayez $2$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ - 3 & - 1 & 0 \\ - 3 & 0 & - 1 \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when $λ = 2$ .

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Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 & 0 \\ - 3 & - 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{0}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} \\ - 3 & - 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ - 3 & - 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 1 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 (\frac{1}{3}) & 0 + 3 \cdot 0 \\ - 3 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & - 1 + 3 (\frac{1}{3}) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{3} z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{3} \\ z \\ z \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Soustrayez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 5 - 1 & 0 - 0 & 1 - 0 \\ - 3 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Soustrayez $1$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 - 0 & 1 - 0 \\ - 3 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 - 0 \\ - 3 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2.3

Soustrayez $0$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ - 3 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2.4

Soustrayez $0$ de $- 3$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ - 3 & 0 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2.6

Soustrayez $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ - 3 & 0 & 0 \\ - 3 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2.7

Soustrayez $0$ de $- 3$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ - 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2.8

Soustrayez $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ - 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2.9

Soustrayez $1$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ - 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3

Find the null space when $λ = 1$ .

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Étape 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{0}{4} & \frac{1}{4} & \frac{0}{4} \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 (\frac{1}{4}) & 0 + 3 \cdot 0 \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & 0 \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 (\frac{1}{4}) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{4}{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{4}{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{4}{3} \cdot 0 & \frac{4}{3} \cdot 0 & \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} & \frac{4}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{3}{4} R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{3}{4} R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{3}{4} \cdot 0 & 0 - \frac{3}{4} \cdot 0 & \frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 & 0 - \frac{3}{4} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{4} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 & \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.6.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

Étape 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ y \\ 0 \end{array}]$

Étape 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Étape 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y \in R}$

Étape 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Étape 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

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Étape 5.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 4$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 5.2.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.3

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.4

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.6

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.7

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.8

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.9

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Étape 5.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 5 - 4 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - 4 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

Étape 5.2.3

Simplify each element.

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Étape 5.2.3.1

Soustrayez $4$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - 4 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - 4 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

Étape 5.2.3.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ - 3 + 0 & 1 - 4 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

Étape 5.2.3.4

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 - 4 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

Étape 5.2.3.5

Soustrayez $4$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ - 3 & - 3 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

Étape 5.2.3.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ - 3 & - 3 & 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

Étape 5.2.3.7

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ - 3 & - 3 & 0 \\ - 3 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

Étape 5.2.3.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ - 3 & - 3 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 - 4 \end{array}]$

Étape 5.2.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ - 3 & - 3 & 0 \\ - 3 & 0 & - 3 \end{array}]$

Étape 5.3

Find the null space when $λ = 4$ .

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Étape 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 3 & - 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 \\ - 3 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & 3 & 0 \\ - 3 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & 3 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Étape 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ z \\ z \end{array}]$

Étape 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Étape 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$