Algèbre linéaire Exemples

$x^{2} + y^{2} - 8 x + 14 y + 65 = 36$

Étape 1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 1.1

Soustrayez $36$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + y^{2} - 8 x + 14 y + 65 - 36 = 0$

Étape 1.2

Soustrayez $36$ de $65$ .

$x^{2} + y^{2} - 8 x + 14 y + 29 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 14$ et $c = x^{2} - 8 x + 29$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 8 x + 29))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $29$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 116}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Soustrayez $116$ de $196$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ .

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Étape 4.1.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $32 x$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $80$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2}) + 4 (8 x)$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 4.1.6.2.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 (x) + 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2.1.2

Réécrivez $8$ comme $- 2$ plus $10$

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (- 2 + 10) x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.1.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} - 2 x) + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (x (- x - 2) - 10 (- x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 2$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $4 (- x - 2) (x - 10)$ comme $2^{2} ((- x - 2) (x - 10))$ .

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Étape 4.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$ .

$y = - 7 \pm \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $29$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 116}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $116$ de $196$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ en forme factorisée.

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Étape 5.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ .

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Étape 5.1.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $32 x$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $80$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2}) + 4 (8 x)$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 5.1.6.2.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 (x) + 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.1.2

Réécrivez $8$ comme $- 2$ plus $10$

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (- 2 + 10) x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.1.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} - 2 x) + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (x (- x - 2) - 10 (- x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 2$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $4 (- x - 2) (x - 10)$ comme $2^{2} ((- x - 2) (x - 10))$ .

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Étape 5.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$ .

$y = - 7 \pm \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = - 7 + \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $29$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 116}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5

Soustrayez $116$ de $196$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6

Réécrivez $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ en forme factorisée.

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Étape 6.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ .

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Étape 6.1.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $32 x$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $80$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2}) + 4 (8 x)$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.1.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 6.1.6.2.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 (x) + 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.2.1.2

Réécrivez $8$ comme $- 2$ plus $10$

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (- 2 + 10) x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.1.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} - 2 x) + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (x (- x - 2) - 10 (- x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 2$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.7

Réécrivez $4 (- x - 2) (x - 10)$ comme $2^{2} ((- x - 2) (x - 10))$ .

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Étape 6.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.7.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$ .

$y = - 7 \pm \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = - 7 - \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - 7 + \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

$y = - 7 - \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

Étape 8

Définissez le radicande dans $\sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(- x - 2) (x - 10) \geq 0$

Étape 9

Résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- x - 2 = 0$

$x - 10 = 0$

Étape 9.2

Définissez $- x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.2.1

Définissez $- x - 2$ égal à $0$ .

$- x - 2 = 0$

Étape 9.2.2

Résolvez $- x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 9.2.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$- x = 2$

Étape 9.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 9.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Étape 9.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1}$

Étape 9.2.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{- 1}$

Étape 9.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.2.2.3.1

Divisez $2$ par $- 1$ .

$x = - 2$

Étape 9.3

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.3.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 9.3.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 9.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(- x - 2) (x - 10) \geq 0$ vraie.

$x = - 2, 10$

Étape 9.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 10$

$x > 10$

Étape 9.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 9.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$(- (- 4) - 2) ((- 4) - 10) \geq 0$

Étape 9.6.1.3

Le côté gauche $- 28$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 10$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 10$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(- (0) - 2) ((0) - 10) \geq 0$

Étape 9.6.2.3

Le côté gauche $20$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 10$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 10$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 12$

Étape 9.6.3.2

Remplacez $x$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

$(- (12) - 2) ((12) - 10) \geq 0$

Étape 9.6.3.3

Le côté gauche $- 28$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 10$ Vrai

$x > 10$ Faux

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 10$ Vrai

$x > 10$ Faux

Étape 9.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 2 \leq x \leq 10$

Étape 10

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 2, 10]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 2 \leq x \leq 10}$

Étape 11