Algèbre linéaire Exemples

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 x - 6361 = 0$

Étape 1

Additionnez $- 2 x$ et $4 x$ .

$x^{2} + y^{2} + 2 x - 6361 = 0$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} + 2 x - 6361 = - x^{2}$

Étape 2.2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 6361 = - x^{2} - 2 x$

Étape 2.3

Ajoutez $6361$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} = - x^{2} - 2 x + 6361$

Étape 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - 2 x + 6361}$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{- x^{2} - 2 x + 6361}$

Étape 4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{- x^{2} - 2 x + 6361}$

Étape 4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{- x^{2} - 2 x + 6361}$

$y = - \sqrt{- x^{2} - 2 x + 6361}$

$y = \sqrt{- x^{2} - 2 x + 6361}$

$y = - \sqrt{- x^{2} - 2 x + 6361}$

Étape 5

Définissez le radicande dans $\sqrt{- x^{2} - 2 x + 6361}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- x^{2} - 2 x + 6361 \geq 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- x^{2} - 2 x + 6361 = 0$

Étape 6.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.3

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = - 2$ et $c = 6361$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 6361)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 6361}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 6361$ .

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Étape 6.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 6361}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.4.1.2.2

Multipliez $4$ par $6361$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 25444}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.4.1.3

Additionnez $4$ et $25444$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{25448}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.4.1.4

Réécrivez $25448$ comme $2^{2} \cdot 6362$ .

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Étape 6.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $25448$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (6362)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6362}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6362}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6362}}{- 2}$

Étape 6.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{6362}}{- 2}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{6362}}{- 1}$

Étape 6.4.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1 \pm \sqrt{6362}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (1 \pm \sqrt{6362})$

Étape 6.4.5

Réécrivez $- 1 \cdot (1 \pm \sqrt{6362})$ comme $- (1 \pm \sqrt{6362})$ .

$x = - (1 \pm \sqrt{6362})$

Étape 6.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 6361}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 6361$ .

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Étape 6.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 6361}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.5.1.2.2

Multipliez $4$ par $6361$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 25444}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.5.1.3

Additionnez $4$ et $25444$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{25448}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.5.1.4

Réécrivez $25448$ comme $2^{2} \cdot 6362$ .

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Étape 6.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $25448$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (6362)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6362}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6362}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6362}}{- 2}$

Étape 6.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{6362}}{- 2}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{6362}}{- 1}$

Étape 6.5.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1 \pm \sqrt{6362}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (1 \pm \sqrt{6362})$

Étape 6.5.5

Réécrivez $- 1 \cdot (1 \pm \sqrt{6362})$ comme $- (1 \pm \sqrt{6362})$ .

$x = - (1 \pm \sqrt{6362})$

Étape 6.5.6

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - (1 + \sqrt{6362})$

Étape 6.5.7

Appliquez la propriété distributive.

$x = - 1 \cdot 1 - \sqrt{6362}$

Étape 6.5.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x = - 1 - \sqrt{6362}$

Étape 6.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 6361}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 6361$ .

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Étape 6.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 6361}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.6.1.2.2

Multipliez $4$ par $6361$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 25444}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.6.1.3

Additionnez $4$ et $25444$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{25448}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.6.1.4

Réécrivez $25448$ comme $2^{2} \cdot 6362$ .

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Étape 6.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $25448$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (6362)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6362}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6362}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6362}}{- 2}$

Étape 6.6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{6362}}{- 2}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{6362}}{- 1}$

Étape 6.6.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1 \pm \sqrt{6362}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (1 \pm \sqrt{6362})$

Étape 6.6.5

Réécrivez $- 1 \cdot (1 \pm \sqrt{6362})$ comme $- (1 \pm \sqrt{6362})$ .

$x = - (1 \pm \sqrt{6362})$

Étape 6.6.6

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - (1 - \sqrt{6362})$

Étape 6.6.7

Appliquez la propriété distributive.

$x = - 1 \cdot 1 + \sqrt{6362}$

Étape 6.6.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x = - 1 + \sqrt{6362}$

Étape 6.6.9

Multipliez $- - \sqrt{6362}$ .

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Étape 6.6.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = - 1 + 1 \sqrt{6362}$

Étape 6.6.9.2

Multipliez $\sqrt{6362}$ par $1$ .

$x = - 1 + \sqrt{6362}$

Étape 6.7

Consolidez les solutions.

$x = - 1 - \sqrt{6362}, - 1 + \sqrt{6362}$

Étape 6.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1 - \sqrt{6362}$

$- 1 - \sqrt{6362} < x < - 1 + \sqrt{6362}$

$x > - 1 + \sqrt{6362}$

Étape 6.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1 - \sqrt{6362}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1 - \sqrt{6362}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 83$

Étape 6.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 83$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(- 83)}^{2} - 2 \cdot - 83 + 6361 \geq 0$

Étape 6.9.1.3

Le côté gauche $- 362$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 - \sqrt{6362} < x < - 1 + \sqrt{6362}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 - \sqrt{6362} < x < - 1 + \sqrt{6362}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 6.9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 6361 \geq 0$

Étape 6.9.2.3

Le côté gauche $6361$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - 1 + \sqrt{6362}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - 1 + \sqrt{6362}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 81$

Étape 6.9.3.2

Remplacez $x$ par $81$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(81)}^{2} - 2 \cdot 81 + 6361 \geq 0$

Étape 6.9.3.3

Le côté gauche $- 362$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1 - \sqrt{6362}$ Faux

$- 1 - \sqrt{6362} < x < - 1 + \sqrt{6362}$ Vrai

$x > - 1 + \sqrt{6362}$ Faux

$x < - 1 - \sqrt{6362}$ Faux

$- 1 - \sqrt{6362} < x < - 1 + \sqrt{6362}$ Vrai

$x > - 1 + \sqrt{6362}$ Faux

Étape 6.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 - \sqrt{6362} \leq x \leq - 1 + \sqrt{6362}$

Étape 7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 1 - \sqrt{6362}, - 1 + \sqrt{6362}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 1 - \sqrt{6362} \leq x \leq - 1 + \sqrt{6362}}$

Étape 8