Algèbre linéaire Exemples

$16 x^{2} + 25 y^{2} + 32 x^{2} - 100 y - 284 = 0$

Étape 1

Additionnez $16 x^{2}$ et $32 x^{2}$ .

$48 x^{2} + 25 y^{2} - 100 y - 284 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 25$ , $b = - 100$ et $c = 48 x^{2} - 284$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{100 \pm \sqrt{{(- 100)}^{2} - 4 \cdot (25 \cdot (48 x^{2} - 284))}}{2 \cdot 25}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 100$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Étape 4.1.4

Multipliez $48$ par $- 100$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 100$ par $- 284$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

Étape 4.1.6

Additionnez $10000$ et $28400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

Étape 4.1.7

Factorisez $4800$ à partir de $- 4800 x^{2} + 38400$ .

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $4800$ à partir de $- 4800 x^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

Étape 4.1.7.2

Factorisez $4800$ à partir de $38400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

Étape 4.1.7.3

Factorisez $4800$ à partir de $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Étape 4.1.8

Réécrivez $4800 (- x^{2} + 8)$ comme $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ .

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Étape 4.1.8.1

Factorisez $1600$ à partir de $4800$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Étape 4.1.8.2

Réécrivez $1600$ comme $40^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Étape 4.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Étape 4.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ .

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 100$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Étape 5.1.4

Multipliez $48$ par $- 100$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Étape 5.1.5

Multipliez $- 100$ par $- 284$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

Étape 5.1.6

Additionnez $10000$ et $28400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

Étape 5.1.7

Factorisez $4800$ à partir de $- 4800 x^{2} + 38400$ .

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Étape 5.1.7.1

Factorisez $4800$ à partir de $- 4800 x^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

Étape 5.1.7.2

Factorisez $4800$ à partir de $38400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

Étape 5.1.7.3

Factorisez $4800$ à partir de $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Étape 5.1.8

Réécrivez $4800 (- x^{2} + 8)$ comme $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ .

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Étape 5.1.8.1

Factorisez $1600$ à partir de $4800$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Étape 5.1.8.2

Réécrivez $1600$ comme $40^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Étape 5.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Étape 5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ .

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{10 + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Étape 5.5

Factorisez $2$ à partir de $10 + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$y = \frac{2 (5) + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Étape 5.5.2

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

$y = \frac{2 (5) + 2 (2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Étape 5.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (5) + 2 (2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})$ .

$y = \frac{2 (5 + 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 100$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Étape 6.1.4

Multipliez $48$ par $- 100$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Étape 6.1.5

Multipliez $- 100$ par $- 284$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

Étape 6.1.6

Additionnez $10000$ et $28400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

Étape 6.1.7

Factorisez $4800$ à partir de $- 4800 x^{2} + 38400$ .

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Étape 6.1.7.1

Factorisez $4800$ à partir de $- 4800 x^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

Étape 6.1.7.2

Factorisez $4800$ à partir de $38400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

Étape 6.1.7.3

Factorisez $4800$ à partir de $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Étape 6.1.8

Réécrivez $4800 (- x^{2} + 8)$ comme $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ .

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Étape 6.1.8.1

Factorisez $1600$ à partir de $4800$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Étape 6.1.8.2

Réécrivez $1600$ comme $40^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Étape 6.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Étape 6.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ .

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{10 - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Étape 6.5

Factorisez $2$ à partir de $10 - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$y = \frac{2 (5) - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Étape 6.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

$y = \frac{2 (5) + 2 (- 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Étape 6.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (5) + 2 (- 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})$ .

$y = \frac{2 (5 - 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{2 (5 + 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

$y = \frac{2 (5 - 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Étape 8

Définissez le radicande dans $\sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$3 (- x^{2} + 8) \geq 0$

Étape 9

Résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $3 (- x^{2} + 8) \geq 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 9.1.1

Divisez chaque terme dans $3 (- x^{2} + 8) \geq 0$ par $3$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Étape 9.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- x^{2} + 8)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Étape 9.1.2.1.2

Divisez $- x^{2} + 8$ par $1$ .

$- x^{2} + 8 \geq \frac{0}{3}$

Étape 9.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.1.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$- x^{2} + 8 \geq 0$

Étape 9.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - 8$

Étape 9.3

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 8$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 9.3.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 8$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Étape 9.3.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Étape 9.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.3.1

Divisez $- 8$ par $- 1$ .

$x^{2} \leq 8$

Étape 9.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{8}$

Étape 9.5

Simplifiez l’équation.

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Étape 9.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.5.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{8}$

Étape 9.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.5.2.1

Simplifiez $\sqrt{8}$ .

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Étape 9.5.2.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 9.5.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$| x | \leq \sqrt{4 (2)}$

Étape 9.5.2.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 9.5.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq | 2 | \sqrt{2}$

Étape 9.5.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$| x | \leq 2 \sqrt{2}$

Étape 9.6

Écrivez $| x | \leq 2 \sqrt{2}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 9.6.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 9.6.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq 2 \sqrt{2}$

Étape 9.6.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 9.6.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq 2 \sqrt{2}$

Étape 9.6.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Étape 9.7

Déterminez l’intersection de $x \leq 2 \sqrt{2}$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Étape 9.8

Résolvez $- x \leq 2 \sqrt{2}$ quand $x < 0$ .

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Étape 9.8.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 2 \sqrt{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 9.8.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 2 \sqrt{2}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Étape 9.8.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.8.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Étape 9.8.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Étape 9.8.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.8.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

Étape 9.8.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ comme $- (2 \sqrt{2})$ .

$x \geq - (2 \sqrt{2})$

Étape 9.8.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x \geq - 2 \sqrt{2}$

Étape 9.8.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - 2 \sqrt{2}$ et $x < 0$ .

$- 2 \sqrt{2} \leq x < 0$

Étape 9.9

Déterminez l’union des solutions.

$- 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Étape 10

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

Étape 11