Algèbre linéaire Exemples

$- 16 x^{2} + y^{2} - 32 x - 14 y + 17 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 14$ et $c = - 16 x^{2} - 32 x + 17$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $- 14$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 (- 16 x^{2}) - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4

Simplifiez

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $- 16$ par $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $- 32$ par $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4.3

Multipliez $- 4$ par $17$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 68}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5

Soustrayez $68$ de $196$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6

Factorisez $64$ à partir de $64 x^{2} + 128 x + 128$ .

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Étape 3.1.6.1

Factorisez $64$ à partir de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2

Factorisez $64$ à partir de $128 x$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (2 x) + 128}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.3

Factorisez $64$ à partir de $128$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 64 (2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.4

Factorisez $64$ à partir de $64 x^{2} + 64 (2 x)$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.5

Factorisez $64$ à partir de $64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{8^{2} (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$ .

$y = 7 \pm 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 14$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 (- 16 x^{2}) - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $- 16$ par $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $- 32$ par $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $- 4$ par $17$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 68}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Soustrayez $68$ de $196$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6

Factorisez $64$ à partir de $64 x^{2} + 128 x + 128$ .

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $64$ à partir de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2

Factorisez $64$ à partir de $128 x$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (2 x) + 128}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.3

Factorisez $64$ à partir de $128$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 64 (2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.4

Factorisez $64$ à partir de $64 x^{2} + 64 (2 x)$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.5

Factorisez $64$ à partir de $64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{8^{2} (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$ .

$y = 7 \pm 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Étape 4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 7 + 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 14$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 (- 16 x^{2}) - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $- 16$ par $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $- 32$ par $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.3

Multipliez $- 4$ par $17$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 68}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $68$ de $196$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6

Factorisez $64$ à partir de $64 x^{2} + 128 x + 128$ .

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Étape 5.1.6.1

Factorisez $64$ à partir de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2

Factorisez $64$ à partir de $128 x$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (2 x) + 128}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.3

Factorisez $64$ à partir de $128$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 64 (2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.4

Factorisez $64$ à partir de $64 x^{2} + 64 (2 x)$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.5

Factorisez $64$ à partir de $64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{8^{2} (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$ .

$y = 7 \pm 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 7 - 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 7 + 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

$y = 7 - 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} + 2 x + 2 \geq 0$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + 2 x + 2 = 0$

Étape 8.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 8.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 8.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.4.1.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.4.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.4.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 8.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 8.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2}$

Étape 8.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 1 \pm i$

Étape 8.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 8.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 8.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.5.1.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.5.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.5.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 8.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 8.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2}$

Étape 8.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 1 \pm i$

Étape 8.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 1 + i$

Étape 8.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 8.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 8.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.1.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2}$

Étape 8.6.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 1 \pm i$

Étape 8.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 1 - i$

Étape 8.7

Identifiez le coefficient directeur.

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Étape 8.7.1

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$x^{2}$

Étape 8.7.2

Le coefficient directeur dans un polynôme est le coefficient du terme principal.

$1$

Étape 8.8

Comme il n’y a pas d’abscisse à l’origine réelle et comme le coefficient directeur est positif, le parabole ouvre vers le haut et $x^{2} + 2 x + 2$ est toujours supérieur à $0$ .

Tous les nombres réels

Étape 9

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 10