Algèbre linéaire Exemples

$\frac{30 x^{3} - 63 x^{2} + 45 x}{4 x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 9}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{30 x^{3} - 63 x^{2} + 45 x}{4 x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 9}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$4 x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $4 x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 9$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 2.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

Étape 2.1.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$4 \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1^{3} + 7 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1 + 9$

Étape 2.1.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $4$ .

$4 \cdot 1 - 8 \cdot 1^{3} + 7 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1 + 9$

Étape 2.1.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 - 8 \cdot 1^{3} + 7 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1 + 9$

Étape 2.1.1.3.4

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$4 - 8 \cdot 1 + 7 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1 + 9$

Étape 2.1.1.3.5

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$4 - 8 + 7 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1 + 9$

Étape 2.1.1.3.6

Soustrayez $8$ de $4$ .

$- 4 + 7 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1 + 9$

Étape 2.1.1.3.7

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$- 4 + 7 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 9$

Étape 2.1.1.3.8

Multipliez $7$ par $1$ .

$- 4 + 7 - 12 \cdot 1 + 9$

Étape 2.1.1.3.9

Additionnez $- 4$ et $7$ .

$3 - 12 \cdot 1 + 9$

Étape 2.1.1.3.10

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$3 - 12 + 9$

Étape 2.1.1.3.11

Soustrayez $12$ de $3$ .

$- 9 + 9$

Étape 2.1.1.3.12

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$0$

Étape 2.1.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 9}{x - 1}$

Étape 2.1.1.5

Divisez $4 x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 9$ par $x - 1$ .

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Étape 2.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$9$

Étape 2.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$4 x^{3}$

$x$

$1$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$9$

Étape 2.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$4 x^{3}$

$x$

$1$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$9$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

Étape 2.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{4} - 4 x^{3}$

$4 x^{3}$

$x$

$1$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$9$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

Étape 2.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$4 x^{3}$

$x$

$1$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$9$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

Étape 2.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$4 x^{3}$

$x$

$1$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$9$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$9$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$9$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{3} + 4 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$9$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$9$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$9$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

Étape 2.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$9$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

Étape 2.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$9$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

Étape 2.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{2} - 3 x$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$9$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

Étape 2.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$9$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$9 x$

Étape 2.1.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$9$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$9 x$

$9$

Étape 2.1.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 9 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x$

$1$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$9$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$9 x$

$9$

Étape 2.1.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x$

$1$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$9$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$9 x$

$9$

$9 x$

$9$

Étape 2.1.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 9 x + 9$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x$

$1$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$9$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$9 x$

$9$

$9 x$

$9$

Étape 2.1.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x$

$1$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$9$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$9 x$

$9$

$9 x$

$9$

$0$

Étape 2.1.1.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$4 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 9$

Étape 2.1.1.6

Écrivez $4 x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 9$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) (4 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 9) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $4 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 9$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $4 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 9$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 2.1.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

Étape 2.1.2.1.3

Remplacez $1.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.2.1.3.1

Remplacez $1.5$ dans le polynôme.

$4 \cdot {1.5}^{3} - 4 \cdot {1.5}^{2} + 3 \cdot 1.5 - 9$

Étape 2.1.2.1.3.2

Élevez $1.5$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot 3.375 - 4 \cdot {1.5}^{2} + 3 \cdot 1.5 - 9$

Étape 2.1.2.1.3.3

Multipliez $4$ par $3.375$ .

$13.5 - 4 \cdot {1.5}^{2} + 3 \cdot 1.5 - 9$

Étape 2.1.2.1.3.4

Élevez $1.5$ à la puissance $2$ .

$13.5 - 4 \cdot 2.25 + 3 \cdot 1.5 - 9$

Étape 2.1.2.1.3.5

Multipliez $- 4$ par $2.25$ .

$13.5 - 9 + 3 \cdot 1.5 - 9$

Étape 2.1.2.1.3.6

Soustrayez $9$ de $13.5$ .

$4.5 + 3 \cdot 1.5 - 9$

Étape 2.1.2.1.3.7

Multipliez $3$ par $1.5$ .

$4.5 + 4.5 - 9$

Étape 2.1.2.1.3.8

Additionnez $4.5$ et $4.5$ .

$9 - 9$

Étape 2.1.2.1.3.9

Soustrayez $9$ de $9$ .

$0$

Étape 2.1.2.1.4

Comme $1.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 9}{2 x - 3}$

Étape 2.1.2.1.5

Divisez $4 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 9$ par $2 x - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$3$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$9$

Étape 2.1.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$

Étape 2.1.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Étape 2.1.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{3} - 6 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Étape 2.1.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Étape 2.1.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 2.1.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 2.1.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 2.1.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} - 3 x$

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 2.1.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$

Étape 2.1.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$9$

Étape 2.1.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$9$

Étape 2.1.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$9$
							+	$6 x$	-	$9$

Étape 2.1.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x - 9$

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$9$
							-	$6 x$	+	$9$

Étape 2.1.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$9$
							-	$6 x$	+	$9$
										$0$

Étape 2.1.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} + x + 3$

Étape 2.1.2.1.6

Écrivez $4 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 9$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) ((2 x - 3) (2 x^{2} + x + 3)) = 0$

Étape 2.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) (2 x - 3) (2 x^{2} + x + 3) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$2 x^{2} + x + 3 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.4

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $2 x - 3 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 2.5

Définissez $2 x^{2} + x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $2 x^{2} + x + 3$ égal à $0$ .

$2 x^{2} + x + 3 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $2 x^{2} + x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 1$ et $c = 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 3)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Étape 2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3.1.3

Soustrayez $24$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Étape 2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Étape 2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.4.1.3

Soustrayez $24$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.4.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Étape 2.5.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{23}}{4}$

Étape 2.5.2.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{23}}{4}$

Étape 2.5.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{23})}{4}$

Étape 2.5.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{23})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{23})}{4}$

Étape 2.5.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{23}}{4}$

Étape 2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Étape 2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.5.1.3

Soustrayez $24$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.5.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Étape 2.5.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{23}}{4}$

Étape 2.5.2.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{23}}{4}$

Étape 2.5.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{23})}{4}$

Étape 2.5.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{23})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{23})}{4}$

Étape 2.5.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{23}}{4}$

Étape 2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{23}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{23}}{4}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (2 x - 3) (2 x^{2} + x + 3) = 0$ vraie.

$x = 1, \frac{3}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{23}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{23}}{4}$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 1) \cup (1, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 1, \frac{3}{2}}$

Étape 4