Algèbre linéaire Exemples

$p^{2} + 2 q^{2} = 11$

Étape 1

Soustrayez $2 q^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$p^{2} = 11 - 2 q^{2}$

Étape 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$p = \pm \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

Étape 3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$p = \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

Étape 3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$p = - \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$p = \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

$p = - \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

$p = \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

$p = - \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

Étape 4

Définissez le radicande dans $\sqrt{11 - 2 q^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$11 - 2 q^{2} \geq 0$

Étape 5

Résolvez $q$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 2 q^{2} \geq - 11$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- 2 q^{2} \geq - 11$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 q^{2} \geq - 11$ par $- 2$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 2 q^{2}}{- 2} \leq \frac{- 11}{- 2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 q^{2}}{- 2} \leq \frac{- 11}{- 2}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $q^{2}$ par $1$ .

$q^{2} \leq \frac{- 11}{- 2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$q^{2} \leq \frac{11}{2}$

Étape 5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{q^{2}} \leq \sqrt{\frac{11}{2}}$

Étape 5.4

Simplifiez l’équation.

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Étape 5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| q | \leq \sqrt{\frac{11}{2}}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{\frac{11}{2}}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{11}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.4.2.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.4.2.1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.4.2.1.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 5.4.2.1.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 5.4.2.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.4.2.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.4.2.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.4.2.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.4.2.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.4.2.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.4.2.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.4.2.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 5.4.2.1.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.4.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.2.1.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11 \cdot 2}}{2}$

Étape 5.4.2.1.4.2

Multipliez $11$ par $2$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$

Étape 5.5

Écrivez $| q | \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 5.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$q \geq 0$

Étape 5.5.2

Dans la partie où $q$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$

Étape 5.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$q < 0$

Étape 5.5.4

Dans la partie où $q$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$

Étape 5.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} q \leq \frac{\sqrt{22}}{2} & q \geq 0 \\ - q \leq \frac{\sqrt{22}}{2} & q < 0 \end{cases}$

Étape 5.6

Déterminez l’intersection de $q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$ et $q \geq 0$ .

$0 \leq q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$

Étape 5.7

Résolvez $- q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$ quand $q < 0$ .

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Étape 5.7.1

Divisez chaque terme dans $- q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.7.1.1

Divisez chaque terme dans $- q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- q}{- 1} \geq \frac{\frac{\sqrt{22}}{2}}{- 1}$

Étape 5.7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{q}{1} \geq \frac{\frac{\sqrt{22}}{2}}{- 1}$

Étape 5.7.1.2.2

Divisez $q$ par $1$ .

$q \geq \frac{\frac{\sqrt{22}}{2}}{- 1}$

Étape 5.7.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{\sqrt{22}}{2}}{- 1}$ .

$q \geq - 1 \cdot \frac{\sqrt{22}}{2}$

Étape 5.7.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{\sqrt{22}}{2}$ comme $- \frac{\sqrt{22}}{2}$ .

$q \geq - \frac{\sqrt{22}}{2}$

Étape 5.7.2

Déterminez l’intersection de $q \geq - \frac{\sqrt{22}}{2}$ et $q < 0$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{2} \leq q < 0$

Étape 5.8

Déterminez l’union des solutions.

$- \frac{\sqrt{22}}{2} \leq q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$

Étape 6

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $q$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{\sqrt{22}}{2}, \frac{\sqrt{22}}{2}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${q | - \frac{\sqrt{22}}{2} \leq q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}}$

Étape 7