Algèbre linéaire Exemples

$\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}})$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}} > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}}}^{3} > 0^{3}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}}$ comme ${(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3}})}^{3} > 0^{3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez ${({(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{2 + x}{4 x})}^{1} > 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.2

Simplifiez

$\frac{2 + x}{4 x} > 0^{3}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2 + x}{4 x} > 0$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$4 x = 0$

$2 + x = 0$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x = 0$

Étape 2.3.3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.3.4

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = - 2$

Étape 2.3.5

Consolidez les solutions.

$x = 0, - 2$

Étape 2.4

Déterminez le domaine de $\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}}$ .

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Étape 2.4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 + x}{4 x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$4 x = 0$

Étape 2.4.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x = 0$

Étape 2.4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Étape 2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt[3]{\frac{2 - 4}{4 (- 4)}} > 0$

Étape 2.6.1.3

Le côté gauche $0.5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1$

Étape 2.6.2.2

Remplacez $x$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt[3]{\frac{2 - 1}{4 (- 1)}} > 0$

Étape 2.6.2.3

Le côté gauche $- 0.62996052$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 2.6.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt[3]{\frac{2 + 2}{4 (2)}} > 0$

Étape 2.6.3.3

Le côté gauche $0.79370052$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

Étape 2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 2$ ou $x > 0$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 + x}{4 x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$4 x = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x = 0$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < - 2, x > 0}$

Étape 6