Algèbre linéaire Exemples

$\sqrt{x^{2} + 4 x + 4}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} + 4 x + 4}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} + 4 x + 4 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Étape 2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x^{2} + 4 x + 2^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$x > - 2$

Étape 2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{2} + 4 (- 4) + 4 \geq 0$

Étape 2.6.1.3

Le côté gauche $4$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} + 4 (0) + 4 \geq 0$

Étape 2.6.2.3

Le côté gauche $4$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.6.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Vrai

$x > - 2$ Vrai

$x < - 2$ Vrai

$x > - 2$ Vrai

Étape 2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 2$ ou $x \geq - 2$

Étape 2.8

Associez les intervalles.

Tous les nombres réels

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4