Algèbre linéaire Exemples

$\sqrt{\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3} \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} + 7 x + 10 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} + 7 x + 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $10$ et dont la somme est $7$ .

$2, 5$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 2) (x + 5) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.5

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = - 2, - 5$

Étape 2.7

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 2, - 5$

$x = - 3$

Étape 2.9

Consolidez les solutions.

$x = - 2, - 5, - 3$

Étape 2.10

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}$ .

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Étape 2.10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 3 = 0$

Étape 2.10.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Étape 2.11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$x > - 2$

Étape 2.12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 2.12.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 8)}^{2} + 7 (- 8) + 10}{(- 8) + 3} \geq 0$

Étape 2.12.1.3

Le côté gauche $- 3.6$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 2.12.2.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 4)}^{2} + 7 (- 4) + 10}{(- 4) + 3} \geq 0$

Étape 2.12.2.3

Le côté gauche $2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2.5$

Étape 2.12.3.2

Remplacez $x$ par $- 2.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 2.5)}^{2} + 7 (- 2.5) + 10}{(- 2.5) + 3} \geq 0$

Étape 2.12.3.3

Le côté gauche $- 2.5$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.12.4.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} + 7 (0) + 10}{(0) + 3} \geq 0$

Étape 2.12.4.3

Le côté gauche $3.\overline{3}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.12.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < - 2$ Faux

$x > - 2$ Vrai

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < - 2$ Faux

$x > - 2$ Vrai

Étape 2.13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 5 \leq x < - 3$ ou $x \geq - 2$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 3 = 0$

Étape 4

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 5, - 3) \cup [- 2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 5 \leq x < - 3, x \geq - 2}$

Étape 6