Algèbre linéaire Exemples

$x^{2} + (1 - a) x - a = 0$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 1 x - a x - a = 0$

Étape 1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} + x - a x - a = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1 - a$ et $c = - a$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- (1 - a) \pm \sqrt{{(1 - a)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- a))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + a \pm \sqrt{{(1 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{{(1 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Multipliez $- - a$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 1 + 1 a \pm \sqrt{{(1 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $a$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{{(1 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Réécrivez ${(1 - a)}^{2}$ comme $(1 - a) (1 - a)$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{(1 - a) (1 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Développez $(1 - a) (1 - a)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 (1 - a) - a (1 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- a) - a (1 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- a) - a \cdot 1 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 + 1 (- a) - a \cdot 1 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.2

Multipliez $- a$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - a - a \cdot 1 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - a - a - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - a - a - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.5

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.6.1.5.1

Déplacez $a$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - a - a - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.5.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - a - a - 1 \cdot (- 1 a^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - a - a + 1 a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.7

Multipliez $a^{2}$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - a - a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2

Soustrayez $a$ de $- a$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - 2 a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 4.1.7.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - 2 a + a^{2} - 4 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - 2 a + a^{2} + 4 a}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.8

Additionnez $- 2 a$ et $4 a$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 + a^{2} + 2 a}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{a^{2} + 2 a + 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.10

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.1.10.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{a^{2} + 2 a + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.10.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 a = 2 \cdot a \cdot 1$

Étape 4.1.10.3

Réécrivez le polynôme.

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.10.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = 1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{{(a + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.11

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 1 + a \pm (a + 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm (a + 1)}{2}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + a \pm \sqrt{{(1 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{{(1 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Multipliez $- - a$ .

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Étape 5.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 1 + 1 a \pm \sqrt{{(1 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3.2

Multipliez $a$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{{(1 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Réécrivez ${(1 - a)}^{2}$ comme $(1 - a) (1 - a)$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{(1 - a) (1 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Développez $(1 - a) (1 - a)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 (1 - a) - a (1 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- a) - a (1 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- a) - a \cdot 1 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 + 1 (- a) - a \cdot 1 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.2

Multipliez $- a$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - a - a \cdot 1 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - a - a - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - a - a - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.5

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.6.1.5.1

Déplacez $a$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - a - a - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.5.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - a - a - 1 \cdot (- 1 a^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - a - a + 1 a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.7

Multipliez $a^{2}$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - a - a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2

Soustrayez $a$ de $- a$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - 2 a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 5.1.7.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - 2 a + a^{2} - 4 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - 2 a + a^{2} + 4 a}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8

Additionnez $- 2 a$ et $4 a$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 + a^{2} + 2 a}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{a^{2} + 2 a + 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.10

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.1.10.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{a^{2} + 2 a + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.10.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 a = 2 \cdot a \cdot 1$

Étape 5.1.10.3

Réécrivez le polynôme.

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.10.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = 1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{{(a + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.11

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 1 + a \pm (a + 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm (a + 1)}{2}$

Étape 5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + a + a + 1}{2}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$x = \frac{a + a + 0}{2}$

Étape 5.4.2

Additionnez $a + a$ et $0$ .

$x = \frac{a + a}{2}$

Étape 5.4.3

Additionnez $a$ et $a$ .

$x = \frac{2 a}{2}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 a}{2}$

Étape 5.5.2

Divisez $a$ par $1$ .

$x = a$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + a \pm \sqrt{{(1 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{{(1 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Multipliez $- - a$ .

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Étape 6.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 1 + 1 a \pm \sqrt{{(1 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3.2

Multipliez $a$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{{(1 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4

Réécrivez ${(1 - a)}^{2}$ comme $(1 - a) (1 - a)$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{(1 - a) (1 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5

Développez $(1 - a) (1 - a)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 (1 - a) - a (1 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- a) - a (1 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- a) - a \cdot 1 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 + 1 (- a) - a \cdot 1 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.1.2

Multipliez $- a$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - a - a \cdot 1 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - a - a - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - a - a - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.1.5

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.6.1.5.1

Déplacez $a$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - a - a - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.1.5.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - a - a - 1 \cdot (- 1 a^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - a - a + 1 a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.1.7

Multipliez $a^{2}$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - a - a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.2

Soustrayez $a$ de $- a$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - 2 a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.7

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 6.1.7.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - 2 a + a^{2} - 4 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.7.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 - 2 a + a^{2} + 4 a}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.8

Additionnez $- 2 a$ et $4 a$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{1 + a^{2} + 2 a}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{a^{2} + 2 a + 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.10

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 6.1.10.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{a^{2} + 2 a + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.10.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 a = 2 \cdot a \cdot 1$

Étape 6.1.10.3

Réécrivez le polynôme.

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.10.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = 1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm \sqrt{{(a + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.11

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 1 + a \pm (a + 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a \pm (a + 1)}{2}$

Étape 6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 + a - (a + 1)}{2}$

Étape 6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 1 + a - a - 1 \cdot 1}{2}$

Étape 6.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 + a - a - 1}{2}$

Étape 6.4.3

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$x = \frac{a - a - 2}{2}$

Étape 6.4.4

Soustrayez $a$ de $a$ .

$x = \frac{0 - 2}{2}$

Étape 6.4.5

Soustrayez $2$ de $0$ .

$x = \frac{- 2}{2}$

Étape 6.5

Divisez $- 2$ par $2$ .

$x = - 1$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = a$

$x = - 1$

Étape 8

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${a | a \in ℝ}$

Étape 9