Algèbre linéaire Exemples

$x^{2} + y^{2} = 68$

Étape 1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} = 68 - x^{2}$

Étape 2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{68 - x^{2}}$

Étape 3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{68 - x^{2}}$

Étape 3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{68 - x^{2}}$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{68 - x^{2}}$

$y = - \sqrt{68 - x^{2}}$

$y = \sqrt{68 - x^{2}}$

$y = - \sqrt{68 - x^{2}}$

Étape 4

Définissez le radicande dans $\sqrt{68 - x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$68 - x^{2} \geq 0$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $68$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - 68$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 68$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 68$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 68}{- 1}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 68}{- 1}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 68}{- 1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Divisez $- 68$ par $- 1$ .

$x^{2} \leq 68$

Étape 5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{68}$

Étape 5.4

Simplifiez l’équation.

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Étape 5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{68}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{68}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Réécrivez $68$ comme $2^{2} \cdot 17$ .

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Étape 5.4.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $68$ .

$| x | \leq \sqrt{4 (17)}$

Étape 5.4.2.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2} \cdot 17}$

Étape 5.4.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq | 2 | \sqrt{17}$

Étape 5.4.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$| x | \leq 2 \sqrt{17}$

Étape 5.5

Écrivez $| x | \leq 2 \sqrt{17}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 5.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 5.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq 2 \sqrt{17}$

Étape 5.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 5.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq 2 \sqrt{17}$

Étape 5.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq 2 \sqrt{17} & x \geq 0 \\ - x \leq 2 \sqrt{17} & x < 0 \end{cases}$

Étape 5.6

Déterminez l’intersection de $x \leq 2 \sqrt{17}$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2 \sqrt{17}$

Étape 5.7

Résolvez $- x \leq 2 \sqrt{17}$ quand $x < 0$ .

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Étape 5.7.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 2 \sqrt{17}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.7.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 2 \sqrt{17}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2 \sqrt{17}}{- 1}$

Étape 5.7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2 \sqrt{17}}{- 1}$

Étape 5.7.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{2 \sqrt{17}}{- 1}$

Étape 5.7.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 \sqrt{17}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (2 \sqrt{17})$

Étape 5.7.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot (2 \sqrt{17})$ comme $- (2 \sqrt{17})$ .

$x \geq - (2 \sqrt{17})$

Étape 5.7.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x \geq - 2 \sqrt{17}$

Étape 5.7.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - 2 \sqrt{17}$ et $x < 0$ .

$- 2 \sqrt{17} \leq x < 0$

Étape 5.8

Déterminez l’union des solutions.

$- 2 \sqrt{17} \leq x \leq 2 \sqrt{17}$

Étape 6

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 2 \sqrt{17}, 2 \sqrt{17}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 2 \sqrt{17} \leq x \leq 2 \sqrt{17}}$

Étape 7