Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} - 6 x + 7 y & - 25 \\ - 4 x - 5 y & - 7 \end{array}]$

Étape 1

L’inverse d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ où $a d - b c$ est le déterminant.

Étape 2

Déterminez le déterminant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(- 6 x + 7 y) \cdot - 7 - (- 4 x - 5 y) \cdot - 25$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 6 x \cdot - 7 + 7 y \cdot - 7 - (- 4 x - 5 y) \cdot - 25$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 7$ par $- 6$ .

$42 x + 7 y \cdot - 7 - (- 4 x - 5 y) \cdot - 25$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $- 7$ par $7$ .

$42 x - 49 y - (- 4 x - 5 y) \cdot - 25$

Étape 2.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$42 x - 49 y + (- (- 4 x) - (- 5 y)) \cdot - 25$

Étape 2.2.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$42 x - 49 y + (4 x - (- 5 y)) \cdot - 25$

Étape 2.2.1.6

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$42 x - 49 y + (4 x + 5 y) \cdot - 25$

Étape 2.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$42 x - 49 y + 4 x \cdot - 25 + 5 y \cdot - 25$

Étape 2.2.1.8

Multipliez $- 25$ par $4$ .

$42 x - 49 y - 100 x + 5 y \cdot - 25$

Étape 2.2.1.9

Multipliez $- 25$ par $5$ .

$42 x - 49 y - 100 x - 125 y$

Étape 2.2.2

Soustrayez $100 x$ de $42 x$ .

$- 58 x - 49 y - 125 y$

Étape 2.2.3

Soustrayez $125 y$ de $- 49 y$ .

$- 58 x - 174 y$

Étape 3

Comme le déterminant est non nul, l’inverse existe.

Étape 4

Remplacez l’inverse dans la formule par les valeurs connues.

$\frac{1}{- 58 x - 174 y} [\begin{array}{c} - 7 & 25 \\ - (- 4 x - 5 y) & - 6 x + 7 y \end{array}]$

Étape 5

Factorisez $58$ à partir de $- 58 x - 174 y$ .

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Étape 5.1

Factorisez $58$ à partir de $- 58 x$ .

$\frac{1}{58 (- x) - 174 y} [\begin{array}{c} - 7 & 25 \\ - (- 4 x - 5 y) & - 6 x + 7 y \end{array}]$

Étape 5.2

Factorisez $58$ à partir de $- 174 y$ .

$\frac{1}{58 (- x) + 58 (- 3 y)} [\begin{array}{c} - 7 & 25 \\ - (- 4 x - 5 y) & - 6 x + 7 y \end{array}]$

Étape 5.3

Factorisez $58$ à partir de $58 (- x) + 58 (- 3 y)$ .

$\frac{1}{58 (- x - 3 y)} [\begin{array}{c} - 7 & 25 \\ - (- 4 x - 5 y) & - 6 x + 7 y \end{array}]$

Étape 6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{1}{58 (- (x) - 3 y)} [\begin{array}{c} - 7 & 25 \\ - (- 4 x - 5 y) & - 6 x + 7 y \end{array}]$

Étape 7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y$ .

$\frac{1}{58 (- (x) - (3 y))} [\begin{array}{c} - 7 & 25 \\ - (- 4 x - 5 y) & - 6 x + 7 y \end{array}]$

Étape 8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (3 y)$ .

$\frac{1}{58 (- (x + 3 y))} [\begin{array}{c} - 7 & 25 \\ - (- 4 x - 5 y) & - 6 x + 7 y \end{array}]$

Étape 9

Réécrivez $- (x + 3 y)$ comme $- 1 (x + 3 y)$ .

$\frac{1}{58 (- 1 (x + 3 y))} [\begin{array}{c} - 7 & 25 \\ - (- 4 x - 5 y) & - 6 x + 7 y \end{array}]$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{58 (x + 3 y)} [\begin{array}{c} - 7 & 25 \\ - (- 4 x - 5 y) & - 6 x + 7 y \end{array}]$

Étape 11

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{58 (x + 3 y)} [\begin{array}{c} - 7 & 25 \\ - (- 4 x) - (- 5 y) & - 6 x + 7 y \end{array}]$

Étape 12

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{58 (x + 3 y)} [\begin{array}{c} - 7 & 25 \\ 4 x - (- 5 y) & - 6 x + 7 y \end{array}]$

Étape 13

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{58 (x + 3 y)} [\begin{array}{c} - 7 & 25 \\ 4 x + 5 y & - 6 x + 7 y \end{array}]$

Étape 14

Multipliez $- \frac{1}{58 (x + 3 y)}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{58 (x + 3 y)} \cdot - 7 & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} \cdot 25 \\ - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (4 x + 5 y) & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x + 7 y) \end{array}]$

Étape 15

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 15.1

Multipliez $- \frac{1}{58 (x + 3 y)} \cdot - 7$ .

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Étape 15.1.1

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 7 \frac{1}{58 (x + 3 y)} & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} \cdot 25 \\ - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (4 x + 5 y) & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x + 7 y) \end{array}]$

Étape 15.1.2

Associez $7$ et $\frac{1}{58 (x + 3 y)}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} \cdot 25 \\ - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (4 x + 5 y) & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x + 7 y) \end{array}]$

Étape 15.2

Multipliez $- \frac{1}{58 (x + 3 y)} \cdot 25$ .

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Étape 15.2.1

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - 25 \frac{1}{58 (x + 3 y)} \\ - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (4 x + 5 y) & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x + 7 y) \end{array}]$

Étape 15.2.2

Associez $- 25$ et $\frac{1}{58 (x + 3 y)}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & \frac{- 25}{58 (x + 3 y)} \\ - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (4 x + 5 y) & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x + 7 y) \end{array}]$

Étape 15.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (4 x + 5 y) & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x + 7 y) \end{array}]$

Étape 15.4

Appliquez la propriété distributive.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (4 x) - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (5 y) & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x + 7 y) \end{array}]$

Étape 15.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{58 (x + 3 y)}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ \frac{- 1}{58 (x + 3 y)} (4 x) - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (5 y) & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x + 7 y) \end{array}]$

Étape 15.5.2

Factorisez $2$ à partir de $58 (x + 3 y)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ \frac{- 1}{2 (29 (x + 3 y))} (4 x) - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (5 y) & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x + 7 y) \end{array}]$

Étape 15.5.3

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ \frac{- 1}{2 (29 (x + 3 y))} (2 (2 x)) - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (5 y) & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x + 7 y) \end{array}]$

Étape 15.5.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ \frac{- 1}{2 (29 (x + 3 y))} (2 (2 x)) - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (5 y) & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x + 7 y) \end{array}]$

Étape 15.5.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ \frac{- 1}{29 (x + 3 y)} (2 x) - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (5 y) & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x + 7 y) \end{array}]$

Étape 15.6

Associez $2$ et $\frac{- 1}{29 (x + 3 y)}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ \frac{2 \cdot - 1}{29 (x + 3 y)} x - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (5 y) & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x + 7 y) \end{array}]$

Étape 15.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ \frac{- 2}{29 (x + 3 y)} x - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (5 y) & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x + 7 y) \end{array}]$

Étape 15.8

Associez $\frac{- 2}{29 (x + 3 y)}$ et $x$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ \frac{- 2 x}{29 (x + 3 y)} - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (5 y) & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x + 7 y) \end{array}]$

Étape 15.9

Multipliez $- \frac{1}{58 (x + 3 y)} (5 y)$ .

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Étape 15.9.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ \frac{- 2 x}{29 (x + 3 y)} - 5 \frac{1}{58 (x + 3 y)} y & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x + 7 y) \end{array}]$

Étape 15.9.2

Associez $- 5$ et $\frac{1}{58 (x + 3 y)}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ \frac{- 2 x}{29 (x + 3 y)} + \frac{- 5}{58 (x + 3 y)} y & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x + 7 y) \end{array}]$

Étape 15.9.3

Associez $\frac{- 5}{58 (x + 3 y)}$ et $y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ \frac{- 2 x}{29 (x + 3 y)} + \frac{- 5 y}{58 (x + 3 y)} & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x + 7 y) \end{array}]$

Étape 15.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ - \frac{2 x}{29 (x + 3 y)} + \frac{- 5 y}{58 (x + 3 y)} & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x + 7 y) \end{array}]$

Étape 15.10.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ - \frac{2 x}{29 (x + 3 y)} - \frac{5 y}{58 (x + 3 y)} & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x + 7 y) \end{array}]$

Étape 15.11

Appliquez la propriété distributive.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ - \frac{2 x}{29 (x + 3 y)} - \frac{5 y}{58 (x + 3 y)} & - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x) - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (7 y) \end{array}]$

Étape 15.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.12.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{58 (x + 3 y)}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ - \frac{2 x}{29 (x + 3 y)} - \frac{5 y}{58 (x + 3 y)} & \frac{- 1}{58 (x + 3 y)} (- 6 x) - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (7 y) \end{array}]$

Étape 15.12.2

Factorisez $2$ à partir de $58 (x + 3 y)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ - \frac{2 x}{29 (x + 3 y)} - \frac{5 y}{58 (x + 3 y)} & \frac{- 1}{2 (29 (x + 3 y))} (- 6 x) - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (7 y) \end{array}]$

Étape 15.12.3

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ - \frac{2 x}{29 (x + 3 y)} - \frac{5 y}{58 (x + 3 y)} & \frac{- 1}{2 (29 (x + 3 y))} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (7 y) \end{array}]$

Étape 15.12.4

Annulez le facteur commun.

Étape 15.12.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ - \frac{2 x}{29 (x + 3 y)} - \frac{5 y}{58 (x + 3 y)} & \frac{- 1}{29 (x + 3 y)} (- 3 x) - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (7 y) \end{array}]$

Étape 15.13

Associez $- 3$ et $\frac{- 1}{29 (x + 3 y)}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ - \frac{2 x}{29 (x + 3 y)} - \frac{5 y}{58 (x + 3 y)} & \frac{- 3 \cdot - 1}{29 (x + 3 y)} x - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (7 y) \end{array}]$

Étape 15.14

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ - \frac{2 x}{29 (x + 3 y)} - \frac{5 y}{58 (x + 3 y)} & \frac{3}{29 (x + 3 y)} x - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (7 y) \end{array}]$

Étape 15.15

Associez $\frac{3}{29 (x + 3 y)}$ et $x$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ - \frac{2 x}{29 (x + 3 y)} - \frac{5 y}{58 (x + 3 y)} & \frac{3 x}{29 (x + 3 y)} - \frac{1}{58 (x + 3 y)} (7 y) \end{array}]$

Étape 15.16

Multipliez $- \frac{1}{58 (x + 3 y)} (7 y)$ .

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Étape 15.16.1

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ - \frac{2 x}{29 (x + 3 y)} - \frac{5 y}{58 (x + 3 y)} & \frac{3 x}{29 (x + 3 y)} - 7 \frac{1}{58 (x + 3 y)} y \end{array}]$

Étape 15.16.2

Associez $- 7$ et $\frac{1}{58 (x + 3 y)}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ - \frac{2 x}{29 (x + 3 y)} - \frac{5 y}{58 (x + 3 y)} & \frac{3 x}{29 (x + 3 y)} + \frac{- 7}{58 (x + 3 y)} y \end{array}]$

Étape 15.16.3

Associez $\frac{- 7}{58 (x + 3 y)}$ et $y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ - \frac{2 x}{29 (x + 3 y)} - \frac{5 y}{58 (x + 3 y)} & \frac{3 x}{29 (x + 3 y)} + \frac{- 7 y}{58 (x + 3 y)} \end{array}]$

Étape 15.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{58 (x + 3 y)} & - \frac{25}{58 (x + 3 y)} \\ - \frac{2 x}{29 (x + 3 y)} - \frac{5 y}{58 (x + 3 y)} & \frac{3 x}{29 (x + 3 y)} - \frac{7 y}{58 (x + 3 y)} \end{array}]$