Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 2 & 2 \\ - 1 + 3 i & - 1 - 3 i \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (- 1 - 3 i) - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot - 1 + 2 (- 3 i) - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 + 2 (- 3 i) - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$- 2 - 6 i - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

Étape 2.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 - 6 i + (- - 1 - (3 i)) \cdot 2$

Étape 2.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 2 - 6 i + (1 - (3 i)) \cdot 2$

Étape 2.2.1.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 2 - 6 i + (1 - 3 i) \cdot 2$

Étape 2.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 - 6 i + 1 \cdot 2 - 3 i \cdot 2$

Étape 2.2.1.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 - 6 i + 2 - 3 i \cdot 2$

Étape 2.2.1.9

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- 2 - 6 i + 2 - 6 i$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$0 - 6 i - 6 i$

Étape 2.2.3

Soustrayez $6 i$ de $0$ .

$- 6 i - 6 i$

Étape 2.2.4

Soustrayez $6 i$ de $- 6 i$ .

$- 12 i$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 12 i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Étape 5

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{- 12 i}$ par le conjugué de $- 12 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{1}{- 12 i} \cdot \frac{i}{i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez.

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Étape 6.1

Associez.

$\frac{1 i}{- 12 i i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Étape 6.2

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{i}{- 12 i i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Étape 6.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{i}{- 12 (i i)} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Étape 6.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{i}{- 12 (i^{1} i)} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Étape 6.3.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{i}{- 12 (i^{1} i^{1})} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Étape 6.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{i}{- 12 i^{1 + 1}} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Étape 6.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{i}{- 12 i^{2}} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Étape 6.3.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{i}{- 12 \cdot - 1} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Étape 7

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Étape 8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - - 1 - (3 i) & 2 \end{array}]$

Étape 9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ 1 - (3 i) & 2 \end{array}]$

Étape 10

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ 1 - 3 i & 2 \end{array}]$

Étape 11

Multipliez $\frac{i}{12}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{i}{12} (- 1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$[\begin{array}{c} \frac{i}{12} \cdot - 1 + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.2

Associez $\frac{i}{12}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.3.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{3 (4)} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.3.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{3 (4)} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.3.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{3 \cdot 4} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.3.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{4} (- i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.4

Associez $\frac{i}{4}$ et $i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i i}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{1} i}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{1} i^{1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{1 + 1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.9.1.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 \cdot i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.9.1.2

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.9.3

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} - \frac{- 1}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.9.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} - - \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.9.5

Multipliez $- - \frac{1}{4}$ .

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Étape 12.9.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} + 1 (\frac{1}{4}) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.9.5.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} + \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.10

Remettez dans l’ordre $- \frac{i}{12}$ et $\frac{1}{4}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.11.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{2 (6)} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.11.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1) \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.11.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1) \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.11.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{6} \cdot - 1 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.12

Associez $\frac{i}{6}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i \cdot - 1}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.13.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{- 1 \cdot i}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.13.2

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{- i}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.15

Appliquez la propriété distributive.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} \cdot 1 + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.16

Multipliez $\frac{i}{12}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.17

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.17.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{3 (4)} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.17.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{3 (4)} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.17.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{3 \cdot 4} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.17.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{4} (- i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.18

Associez $\frac{i}{4}$ et $i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i i}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.19

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{1} i}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.20

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{1} i^{1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{1 + 1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.22

Additionnez $1$ et $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.23

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.23.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{- 1}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.23.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - - \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.23.3

Multipliez $- - \frac{1}{4}$ .

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Étape 12.23.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + 1 (\frac{1}{4}) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.23.3.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.24

Remettez dans l’ordre $\frac{i}{12}$ et $\frac{1}{4}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.25

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.25.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{2 (6)} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.25.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{2 \cdot 6} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 12.25.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{6} \end{array}]$