Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 3 e^{t} & e^{2 t} \\ 2 e^{t} & 2 e^{2 t} \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 e^{t} (2 e^{2 t}) - 2 e^{t} e^{2 t}$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \cdot 2 e^{t} e^{2 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $e^{t}$ par $e^{2 t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.2.1

Déplacez $e^{2 t}$ .

$3 \cdot 2 (e^{2 t} e^{t}) - 2 e^{t} e^{2 t}$

Étape 2.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \cdot 2 e^{2 t + t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

Étape 2.2.1.2.3

Additionnez $2 t$ et $t$ .

$3 \cdot 2 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $e^{t}$ par $e^{2 t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.4.1

Déplacez $e^{2 t}$ .

$6 e^{3 t} - 2 (e^{2 t} e^{t})$

Étape 2.2.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 e^{3 t} - 2 e^{2 t + t}$

Étape 2.2.1.4.3

Additionnez $2 t$ et $t$ .

$6 e^{3 t} - 2 e^{3 t}$

Étape 2.2.2

Soustrayez $2 e^{3 t}$ de $6 e^{3 t}$ .

$4 e^{3 t}$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{4 e^{3 t}} [\begin{array}{c} 2 e^{2 t} & - e^{2 t} \\ - 2 e^{t} & 3 e^{t} \end{array}]$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{4 e^{3 t}}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4 e^{3 t}} (2 e^{2 t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.3

Associez $\frac{1}{2 e^{3 t}}$ et $e^{2 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{2 t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun à $e^{2 t}$ et $e^{3 t}$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $e^{3 t}$ à partir de $e^{2 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.1

Factorisez $e^{3 t}$ à partir de $2 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{2 t} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.6

Associez $e^{2 t}$ et $\frac{1}{4 e^{3 t}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{2 t}}{4 e^{3 t}} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.7

Annulez le facteur commun à $e^{2 t}$ et $e^{3 t}$ .

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Étape 6.7.1

Factorisez $e^{3 t}$ à partir de $e^{2 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{4 e^{3 t}} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.7.2.1

Factorisez $e^{3 t}$ à partir de $4 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - 2 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.9.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 (- 1) \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.9.2

Factorisez $2$ à partir de $4 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 (- 1) \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.9.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.9.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{1}{2 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.10

Associez $e^{t}$ et $\frac{1}{2 e^{3 t}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.11

Annulez le facteur commun à $e^{t}$ et $e^{3 t}$ .

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Étape 6.11.1

Factorisez $e^{3 t}$ à partir de $e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.11.2.1

Factorisez $e^{3 t}$ à partir de $2 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & 3 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} \end{array}]$

Étape 6.13

Associez $3$ et $\frac{1}{4 e^{3 t}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3}{4 e^{3 t}} e^{t} \end{array}]$

Étape 6.14

Associez $\frac{3}{4 e^{3 t}}$ et $e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3 e^{t}}{4 e^{3 t}} \end{array}]$

Étape 6.15

Annulez le facteur commun à $e^{t}$ et $e^{3 t}$ .

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Étape 6.15.1

Factorisez $e^{3 t}$ à partir de $3 e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{4 e^{3 t}} \end{array}]$

Étape 6.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.15.2.1

Factorisez $e^{3 t}$ à partir de $4 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{e^{3 t} \cdot 4} \end{array}]$

Étape 6.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{e^{3 t} \cdot 4} \end{array}]$

Étape 6.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3 e^{- 2 t}}{4} \end{array}]$