Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 3 & - 9 \\ - 2 & 5 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

$a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 5 - (- 2 \cdot - 9)$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez

$3$ par

$5$ .

$15 - (- 2 \cdot - 9)$

Étape 2.2.1.2

Multipliez

$- (- 2 \cdot - 9)$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez

$- 2$ par

$- 9$ .

$15 - 1 \cdot 18$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$18$ .

$15 - 18$

Étape 2.2.2

Soustrayez

$18$ de

$15$ .

$- 3$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 3} [\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3} [\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez

$- \frac{1}{3}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot 5 & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.1

Multipliez

$- \frac{1}{3} \cdot 5$ .

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Étape 7.1.1

Multipliez

$5$ par

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 (\frac{1}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Associez

$- 5$ et

$\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de

$3$ .

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Étape 7.3.1

Placez le signe négatif initial dans

$- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.3.2

Factorisez

$3$ à partir de

$9$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot (3 (3)) \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.3.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 3) \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.3.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 1 \cdot 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.4

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.5

Multipliez

$- \frac{1}{3} \cdot 2$ .

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Étape 7.5.1

Multipliez

$2$ par

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - 2 (\frac{1}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.5.2

Associez

$- 2$ et

$\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ \frac{- 2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.7

Annulez le facteur commun de

$3$ .

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Étape 7.7.1

Placez le signe négatif initial dans

$- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.7.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.7.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{2}{3} & - 1 \end{array}]$