Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 5 x & - 4 y \\ 6 x & - 5 y \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 x (- 5 y) - 6 x (- 4 y)$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 \cdot - 5 x y - 6 x (- 4 y)$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$- 25 x y - 6 x (- 4 y)$

Étape 2.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 25 x y - 6 \cdot - 4 x y$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $- 6$ par $- 4$ .

$- 25 x y + 24 x y$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 25 x y$ et $24 x y$ .

$- x y$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- x y} [\begin{array}{c} - 5 y & 4 y \\ - 6 x & 5 x \end{array}]$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 5.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- x y} [\begin{array}{c} - 5 y & 4 y \\ - 6 x & 5 x \end{array}]$

Étape 5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x y} [\begin{array}{c} - 5 y & 4 y \\ - 6 x & 5 x \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $- \frac{1}{x y}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{x y} (- 5 y) & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 7.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x y}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{x y} (- 5 y) & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.1.2

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{y x} (- 5 y) & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.1.3

Factorisez $y$ à partir de $- 5 y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{y x} (y \cdot - 5) & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.1.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{y x} (y \cdot - 5) & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.1.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{x} \cdot - 5 & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.2

Associez $\frac{- 1}{x}$ et $- 5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 5}{x} & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 7.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x y}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.4.2

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1}{y x} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.4.3

Factorisez $y$ à partir de $4 y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1}{y x} (y \cdot 4) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.4.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1}{y x} (y \cdot 4) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.4.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1}{x} \cdot 4 \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.5

Associez $\frac{- 1}{x}$ et $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1 \cdot 4}{x} \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.6

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 4}{x} \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.8

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x y}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- 1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.8.2

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- 1}{x (y)} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.8.3

Factorisez $x$ à partir de $- 6 x$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- 1}{x (y)} (x \cdot - 6) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.8.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- 1}{x y} (x \cdot - 6) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.8.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- 1}{y} \cdot - 6 & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.9

Associez $\frac{- 1}{y}$ et $- 6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- - 6}{y} & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.10

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.11

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.11.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x y}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.11.2

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1}{x (y)} (5 x) \end{array}]$

Étape 7.11.3

Factorisez $x$ à partir de $5 x$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1}{x (y)} (x \cdot 5) \end{array}]$

Étape 7.11.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1}{x y} (x \cdot 5) \end{array}]$

Étape 7.11.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1}{y} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.12

Associez $\frac{- 1}{y}$ et $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1 \cdot 5}{y} \end{array}]$

Étape 7.13

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 5}{y} \end{array}]$

Étape 7.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & - \frac{5}{y} \end{array}]$