Algèbre linéaire Exemples

$\frac{1}{- 5} \cdot [\begin{array}{c} 19 & 4 \\ 48 & - 7 \end{array}]$

Étape 1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{5} \cdot [\begin{array}{c} 19 & 4 \\ 48 & - 7 \end{array}]$

Étape 2

Multipliez $- \frac{1}{5}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \cdot 19 & - \frac{1}{5} \cdot 4 \\ - \frac{1}{5} \cdot 48 & - \frac{1}{5} \cdot - 7 \end{array}]$

Étape 3

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.1

Multipliez $- \frac{1}{5} \cdot 19$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $19$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 19 (\frac{1}{5}) & - \frac{1}{5} \cdot 4 \\ - \frac{1}{5} \cdot 48 & - \frac{1}{5} \cdot - 7 \end{array}]$

Étape 3.1.2

Associez $- 19$ et $\frac{1}{5}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 19}{5} & - \frac{1}{5} \cdot 4 \\ - \frac{1}{5} \cdot 48 & - \frac{1}{5} \cdot - 7 \end{array}]$

Étape 3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{19}{5} & - \frac{1}{5} \cdot 4 \\ - \frac{1}{5} \cdot 48 & - \frac{1}{5} \cdot - 7 \end{array}]$

Étape 3.3

Multipliez $- \frac{1}{5} \cdot 4$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{19}{5} & - 4 (\frac{1}{5}) \\ - \frac{1}{5} \cdot 48 & - \frac{1}{5} \cdot - 7 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{5}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{19}{5} & \frac{- 4}{5} \\ - \frac{1}{5} \cdot 48 & - \frac{1}{5} \cdot - 7 \end{array}]$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{19}{5} & - \frac{4}{5} \\ - \frac{1}{5} \cdot 48 & - \frac{1}{5} \cdot - 7 \end{array}]$

Étape 3.5

Multipliez $- \frac{1}{5} \cdot 48$ .

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Étape 3.5.1

Multipliez $48$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{19}{5} & - \frac{4}{5} \\ - 48 (\frac{1}{5}) & - \frac{1}{5} \cdot - 7 \end{array}]$

Étape 3.5.2

Associez $- 48$ et $\frac{1}{5}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{19}{5} & - \frac{4}{5} \\ \frac{- 48}{5} & - \frac{1}{5} \cdot - 7 \end{array}]$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{19}{5} & - \frac{4}{5} \\ - \frac{48}{5} & - \frac{1}{5} \cdot - 7 \end{array}]$

Étape 3.7

Multipliez $- \frac{1}{5} \cdot - 7$ .

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{19}{5} & - \frac{4}{5} \\ - \frac{48}{5} & 7 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Étape 3.7.2

Associez $7$ et $\frac{1}{5}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{19}{5} & - \frac{4}{5} \\ - \frac{48}{5} & \frac{7}{5} \end{array}]$

Étape 4

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- \frac{19}{5} \cdot \frac{7}{5} - (- \frac{48}{5} (- \frac{4}{5}))$

Étape 5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- \frac{19}{5} \cdot \frac{7}{5}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Multipliez $\frac{7}{5}$ par $\frac{19}{5}$ .

$- \frac{7 \cdot 19}{5 \cdot 5} - (- \frac{48}{5} (- \frac{4}{5}))$

Étape 5.2.1.1.2

Multipliez $7$ par $19$ .

$- \frac{133}{5 \cdot 5} - (- \frac{48}{5} (- \frac{4}{5}))$

Étape 5.2.1.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$- \frac{133}{25} - (- \frac{48}{5} (- \frac{4}{5}))$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- \frac{48}{5} (- \frac{4}{5})$ .

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Étape 5.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{133}{25} - (1 (\frac{48}{5}) \frac{4}{5})$

Étape 5.2.1.2.2

Multipliez $\frac{48}{5}$ par $1$ .

$- \frac{133}{25} - (\frac{48}{5} \cdot \frac{4}{5})$

Étape 5.2.1.2.3

Multipliez $\frac{48}{5}$ par $\frac{4}{5}$ .

$- \frac{133}{25} - \frac{48 \cdot 4}{5 \cdot 5}$

Étape 5.2.1.2.4

Multipliez $48$ par $4$ .

$- \frac{133}{25} - \frac{192}{5 \cdot 5}$

Étape 5.2.1.2.5

Multipliez $5$ par $5$ .

$- \frac{133}{25} - \frac{192}{25}$

Étape 5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 133 - 192}{25}$

Étape 5.2.3

Soustrayez $192$ de $- 133$ .

$\frac{- 325}{25}$

Étape 5.2.4

Divisez $- 325$ par $25$ .

$- 13$

Étape 6

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 7

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 13} [\begin{array}{c} \frac{7}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{48}{5} & - \frac{19}{5} \end{array}]$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{13} [\begin{array}{c} \frac{7}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{48}{5} & - \frac{19}{5} \end{array}]$

Étape 9

Multipliez $- \frac{1}{13}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{13} \cdot \frac{7}{5} & - \frac{1}{13} \cdot \frac{4}{5} \\ - \frac{1}{13} \cdot \frac{48}{5} & - \frac{1}{13} (- \frac{19}{5}) \end{array}]$

Étape 10

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 10.1

Multipliez $- \frac{1}{13} \cdot \frac{7}{5}$ .

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Étape 10.1.1

Multipliez $\frac{7}{5}$ par $\frac{1}{13}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{5 \cdot 13} & - \frac{1}{13} \cdot \frac{4}{5} \\ - \frac{1}{13} \cdot \frac{48}{5} & - \frac{1}{13} (- \frac{19}{5}) \end{array}]$

Étape 10.1.2

Multipliez $5$ par $13$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{65} & - \frac{1}{13} \cdot \frac{4}{5} \\ - \frac{1}{13} \cdot \frac{48}{5} & - \frac{1}{13} (- \frac{19}{5}) \end{array}]$

Étape 10.2

Multipliez $- \frac{1}{13} \cdot \frac{4}{5}$ .

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Étape 10.2.1

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $\frac{1}{13}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{65} & - \frac{4}{5 \cdot 13} \\ - \frac{1}{13} \cdot \frac{48}{5} & - \frac{1}{13} (- \frac{19}{5}) \end{array}]$

Étape 10.2.2

Multipliez $5$ par $13$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{65} & - \frac{4}{65} \\ - \frac{1}{13} \cdot \frac{48}{5} & - \frac{1}{13} (- \frac{19}{5}) \end{array}]$

Étape 10.3

Multipliez $- \frac{1}{13} \cdot \frac{48}{5}$ .

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Étape 10.3.1

Multipliez $\frac{48}{5}$ par $\frac{1}{13}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{65} & - \frac{4}{65} \\ - \frac{48}{5 \cdot 13} & - \frac{1}{13} (- \frac{19}{5}) \end{array}]$

Étape 10.3.2

Multipliez $5$ par $13$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{65} & - \frac{4}{65} \\ - \frac{48}{65} & - \frac{1}{13} (- \frac{19}{5}) \end{array}]$

Étape 10.4

Multipliez $- \frac{1}{13} (- \frac{19}{5})$ .

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Étape 10.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{65} & - \frac{4}{65} \\ - \frac{48}{65} & 1 (\frac{1}{13}) \frac{19}{5} \end{array}]$

Étape 10.4.2

Multipliez $\frac{1}{13}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{65} & - \frac{4}{65} \\ - \frac{48}{65} & \frac{1}{13} \cdot \frac{19}{5} \end{array}]$

Étape 10.4.3

Multipliez $\frac{1}{13}$ par $\frac{19}{5}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{65} & - \frac{4}{65} \\ - \frac{48}{65} & \frac{19}{13 \cdot 5} \end{array}]$

Étape 10.4.4

Multipliez $13$ par $5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{65} & - \frac{4}{65} \\ - \frac{48}{65} & \frac{19}{65} \end{array}]$