Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} x & x^{2} & \frac{1}{x} \\ 1 & 2 x & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & 2 & \frac{2}{x^{3}} \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 x & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} 2 x & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$\frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} 2 x & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Étape 2

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 x & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (2 x \frac{2}{x^{3}} - 2 (- \frac{1}{x^{2}})) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$x (x \cdot 2 \frac{2}{x^{3}} - 2 (- \frac{1}{x^{2}})) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x (x \cdot 2 \frac{2}{x \cdot x^{2}} - 2 (- \frac{1}{x^{2}})) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

Étape 2.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$x (2 \frac{2}{x^{2}} - 2 (- \frac{1}{x^{2}})) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2.1.2

Associez $2$ et $\frac{2}{x^{2}}$ .

$x (\frac{2 \cdot 2}{x^{2}} - 2 (- \frac{1}{x^{2}})) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$x (\frac{4}{x^{2}} - 2 (- \frac{1}{x^{2}})) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $- 2 (- \frac{1}{x^{2}})$ .

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Étape 2.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$x (\frac{4}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{2}}) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2.1.4.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x (\frac{4}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x \frac{4 + 2}{x^{2}} - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} (1 \frac{2}{x^{3}} + 0 (- \frac{1}{x^{2}})) + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $\frac{2}{x^{3}}$ par $1$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} (\frac{2}{x^{3}} + 0 (- \frac{1}{x^{2}})) + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $0 (- \frac{1}{x^{2}})$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} (\frac{2}{x^{3}} + 0 \frac{1}{x^{2}}) + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} (\frac{2}{x^{3}} + 0) + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Additionnez $\frac{2}{x^{3}}$ et $0$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} (1 \cdot 2 + 0 (2 x))$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} (2 + 0 (2 x))$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $0 (2 x)$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} (2 + 0 x)$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} (2 + 0)$

Étape 4.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \frac{6}{x \cdot x} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Étape 5.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x \frac{6}{x \cdot x} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Étape 5.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{x} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{6}{x} + x^{2} \cdot - 1 \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Étape 5.1.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{6}{x} + x^{2} \cdot - 1 \frac{2}{x^{2} x} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Étape 5.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{x} + x^{2} \cdot - 1 \frac{2}{x^{2} x} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Étape 5.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{x} - 1 \frac{2}{x} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Étape 5.1.3

Réécrivez $- 1 \frac{2}{x}$ comme $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{6}{x} - \frac{2}{x} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Étape 5.1.4

Associez $\frac{1}{x}$ et $2$ .

$\frac{6}{x} - \frac{2}{x} + \frac{2}{x}$

Étape 5.2

Associez les termes opposés dans $\frac{6}{x} - \frac{2}{x} + \frac{2}{x}$ .

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Étape 5.2.1

Additionnez $- \frac{2}{x}$ et $\frac{2}{x}$ .

$\frac{6}{x} + 0$

Étape 5.2.2

Additionnez $\frac{6}{x}$ et $0$ .

$\frac{6}{x}$