Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & x \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$\frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Étape 2

Évaluez $| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x \cdot x - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x (x^{2} - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Étape 2.2.2

Multipliez $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ .

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (x^{2} - (1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{6})) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $1$ .

$x (x^{2} - (\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6})) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{1}{6}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{6 \cdot 6}) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Étape 2.2.2.4

Multipliez $6$ par $6$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{1}{6} x - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{6}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Étape 3.2.2

Multipliez $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ .

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - (1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{6})) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - (\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6})) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{1}{6}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6}) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Étape 3.2.2.4

Multipliez $6$ par $6$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}) - (- \frac{1}{6} x))$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{6} - (- \frac{1}{6} x))$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - (- \frac{1}{6} x))$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{1}{6}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{6 \cdot 6} - (- \frac{1}{6} x))$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $6$ par $6$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} - (- \frac{1}{6} x))$

Étape 4.2.2

Associez $x$ et $\frac{1}{6}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} - - \frac{x}{6})$

Étape 4.2.3

Multipliez $- - \frac{x}{6}$ .

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + 1 \frac{x}{6})$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $\frac{x}{6}$ par $1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x^{2} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Étape 5.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Étape 5.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 2} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Étape 5.1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{3} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Étape 5.1.3

Associez $x$ et $\frac{1}{36}$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Étape 5.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} - \frac{x}{36} + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6}) + \frac{1}{6} (- \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Étape 5.1.5

Multipliez $\frac{1}{6} (- \frac{x}{6})$ .

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Étape 5.1.5.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{x}{6}$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{6 \cdot 6} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Étape 5.1.5.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Étape 5.1.6

Multipliez $\frac{1}{6} (- \frac{1}{36})$ .

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Étape 5.1.6.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{1}{36}$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{6 \cdot 36} - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Étape 5.1.6.2

Multipliez $6$ par $36$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Étape 5.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{36} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$

Étape 5.1.8

Multipliez $- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{36}$ .

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Étape 5.1.8.1

Multipliez $\frac{1}{36}$ par $\frac{1}{6}$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{36 \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$

Étape 5.1.8.2

Multipliez $36$ par $6$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{216} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$

Étape 5.1.9

Multipliez $- \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$ .

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Étape 5.1.9.1

Multipliez $\frac{x}{6}$ par $\frac{1}{6}$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{216} - \frac{x}{6 \cdot 6}$

Étape 5.1.9.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{216} - \frac{x}{36}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{3} + \frac{- x - x - x}{36} + \frac{- 1 - 1}{216}$

Étape 5.3

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$x^{3} + \frac{- 2 x - x}{36} + \frac{- 1 - 1}{216}$

Étape 5.4

Soustrayez $x$ de $- 2 x$ .

$x^{3} + \frac{- 3 x}{36} + \frac{- 1 - 1}{216}$

Étape 5.5

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$x^{3} + \frac{- 3 x}{36} + \frac{- 2}{216}$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $36$ .

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Étape 5.6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$x^{3} + \frac{3 (- x)}{36} + \frac{- 2}{216}$

Étape 5.6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$x^{3} + \frac{3 (- x)}{3 (12)} + \frac{- 2}{216}$

Étape 5.6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{3} + \frac{3 (- x)}{3 \cdot 12} + \frac{- 2}{216}$

Étape 5.6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{3} + \frac{- x}{12} + \frac{- 2}{216}$

Étape 5.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{- 2}{216}$

Étape 5.6.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $216$ .

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Étape 5.6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{2 (- 1)}{216}$

Étape 5.6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $216$ .

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 108}$

Étape 5.6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 108}$

Étape 5.6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{108}$

Étape 5.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{3} - \frac{x}{12} - \frac{1}{108}$