Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} x & 4 & x^{2} \\ 6 & - x & 0 \\ - 1 & x^{3} & 1 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} - x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 0 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 6 & 0 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & - x \\ - 1 & x^{3} \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$x^{2} | \begin{array}{c} 6 & - x \\ - 1 & x^{3} \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} - x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 6 & 0 \\ - 1 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} 6 & - x \\ - 1 & x^{3} \end{array} |$

Étape 2

Évaluez $| \begin{array}{c} - x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (- x \cdot 1 - x^{3} \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 6 & 0 \\ - 1 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} 6 & - x \\ - 1 & x^{3} \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x (- x - x^{3} \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 6 & 0 \\ - 1 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} 6 & - x \\ - 1 & x^{3} \end{array} |$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- x^{3} \cdot 0$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$x (- x + 0 x^{3}) - 4 | \begin{array}{c} 6 & 0 \\ - 1 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} 6 & - x \\ - 1 & x^{3} \end{array} |$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $0$ par $x^{3}$ .

$x (- x + 0) - 4 | \begin{array}{c} 6 & 0 \\ - 1 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} 6 & - x \\ - 1 & x^{3} \end{array} |$

Étape 2.2.2

Additionnez $- x$ et $0$ .

$x (- x) - 4 | \begin{array}{c} 6 & 0 \\ - 1 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} 6 & - x \\ - 1 & x^{3} \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} 6 & 0 \\ - 1 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (- x) - 4 (6 \cdot 1 - - 0) + x^{2} | \begin{array}{c} 6 & - x \\ - 1 & x^{3} \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$x (- x) - 4 (6 - - 0) + x^{2} | \begin{array}{c} 6 & - x \\ - 1 & x^{3} \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- - 0$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$x (- x) - 4 (6 - 0) + x^{2} | \begin{array}{c} 6 & - x \\ - 1 & x^{3} \end{array} |$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$x (- x) - 4 (6 + 0) + x^{2} | \begin{array}{c} 6 & - x \\ - 1 & x^{3} \end{array} |$

Étape 3.2.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$x (- x) - 4 \cdot 6 + x^{2} | \begin{array}{c} 6 & - x \\ - 1 & x^{3} \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} 6 & - x \\ - 1 & x^{3} \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (- x) - 4 \cdot 6 + x^{2} (6 x^{3} - - - x)$

Étape 4.2

Multipliez $- - x$ .

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (- x) - 4 \cdot 6 + x^{2} (6 x^{3} - (1 x))$

Étape 4.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x (- x) - 4 \cdot 6 + x^{2} (6 x^{3} - x)$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x \cdot x - 4 \cdot 6 + x^{2} (6 x^{3} - x)$

Étape 5.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1

Déplacez $x$ .

$- (x \cdot x) - 4 \cdot 6 + x^{2} (6 x^{3} - x)$

Étape 5.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- x^{2} - 4 \cdot 6 + x^{2} (6 x^{3} - x)$

Étape 5.3

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$- x^{2} - 24 + x^{2} (6 x^{3} - x)$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} - 24 + x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (- x)$

Étape 5.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x^{2} - 24 + 6 x^{2} x^{3} + x^{2} (- x)$

Étape 5.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x^{2} - 24 + 6 x^{2} x^{3} - x^{2} x$

Étape 5.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.7.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- x^{2} - 24 + 6 (x^{3} x^{2}) - x^{2} x$

Étape 5.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{2} - 24 + 6 x^{3 + 2} - x^{2} x$

Étape 5.7.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$- x^{2} - 24 + 6 x^{5} - x^{2} x$

Étape 5.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.7.2.1

Déplacez $x$ .

$- x^{2} - 24 + 6 x^{5} - (x \cdot x^{2})$

Étape 5.7.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- x^{2} - 24 + 6 x^{5} - (x^{1} x^{2})$

Étape 5.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{2} - 24 + 6 x^{5} - x^{1 + 2}$

Étape 5.7.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- x^{2} - 24 + 6 x^{5} - x^{3}$