Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 2 s + 3 & - 3 \\ \frac{4}{s + 1} + s + 2 & s^{2} \end{array}]$

Étape 1

Pour écrire $s$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{s + 1}{s + 1}$ .

$[\begin{array}{c} 2 s + 3 & - 3 \\ \frac{4}{s + 1} + \frac{s (s + 1)}{s + 1} + 2 & s^{2} \end{array}]$

Étape 2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} 2 s + 3 & - 3 \\ \frac{4 + s (s + 1)}{s + 1} + 2 & s^{2} \end{array}]$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$[\begin{array}{c} 2 s + 3 & - 3 \\ \frac{4 + s \cdot s + s \cdot 1}{s + 1} + 2 & s^{2} \end{array}]$

Étape 3.2

Multipliez $s$ par $s$ .

$[\begin{array}{c} 2 s + 3 & - 3 \\ \frac{4 + s^{2} + s \cdot 1}{s + 1} + 2 & s^{2} \end{array}]$

Étape 3.3

Multipliez $s$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 s + 3 & - 3 \\ \frac{4 + s^{2} + s}{s + 1} + 2 & s^{2} \end{array}]$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$[\begin{array}{c} 2 s + 3 & - 3 \\ \frac{s^{2} + s + 4}{s + 1} + 2 & s^{2} \end{array}]$

Étape 4

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{s + 1}{s + 1}$ .

$[\begin{array}{c} 2 s + 3 & - 3 \\ \frac{s^{2} + s + 4}{s + 1} + \frac{2 (s + 1)}{s + 1} & s^{2} \end{array}]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} 2 s + 3 & - 3 \\ \frac{s^{2} + s + 4 + 2 (s + 1)}{s + 1} & s^{2} \end{array}]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$[\begin{array}{c} 2 s + 3 & - 3 \\ \frac{s^{2} + s + 4 + 2 s + 2 \cdot 1}{s + 1} & s^{2} \end{array}]$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 s + 3 & - 3 \\ \frac{s^{2} + s + 4 + 2 s + 2}{s + 1} & s^{2} \end{array}]$

Étape 6.3

Additionnez $s$ et $2 s$ .

$[\begin{array}{c} 2 s + 3 & - 3 \\ \frac{s^{2} + 3 s + 4 + 2}{s + 1} & s^{2} \end{array}]$

Étape 6.4

Additionnez $4$ et $2$ .

$[\begin{array}{c} 2 s + 3 & - 3 \\ \frac{s^{2} + 3 s + 6}{s + 1} & s^{2} \end{array}]$

Étape 7

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(2 s + 3) s^{2} - \frac{s^{2} + 3 s + 6}{s + 1} \cdot - 3$

Étape 8

Simplifiez le déterminant.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 s \cdot s^{2} + 3 s^{2} - \frac{s^{2} + 3 s + 6}{s + 1} \cdot - 3$

Étape 8.1.2

Multipliez $s$ par $s^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1.2.1

Déplacez $s^{2}$ .

$2 (s^{2} s) + 3 s^{2} - \frac{s^{2} + 3 s + 6}{s + 1} \cdot - 3$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $s^{2}$ par $s$ .

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Étape 8.1.2.2.1

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$2 (s^{2} s^{1}) + 3 s^{2} - \frac{s^{2} + 3 s + 6}{s + 1} \cdot - 3$

Étape 8.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 s^{2 + 1} + 3 s^{2} - \frac{s^{2} + 3 s + 6}{s + 1} \cdot - 3$

Étape 8.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 s^{3} + 3 s^{2} - \frac{s^{2} + 3 s + 6}{s + 1} \cdot - 3$

Étape 8.1.3

Multipliez $- \frac{s^{2} + 3 s + 6}{s + 1} \cdot - 3$ .

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Étape 8.1.3.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$2 s^{3} + 3 s^{2} + 3 \frac{s^{2} + 3 s + 6}{s + 1}$

Étape 8.1.3.2

Associez $3$ et $\frac{s^{2} + 3 s + 6}{s + 1}$ .

$2 s^{3} + 3 s^{2} + \frac{3 (s^{2} + 3 s + 6)}{s + 1}$

Étape 8.2

Pour écrire $2 s^{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{s + 1}{s + 1}$ .

$3 s^{2} + \frac{2 s^{3} (s + 1)}{s + 1} + \frac{3 (s^{2} + 3 s + 6)}{s + 1}$

Étape 8.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 s^{2} + \frac{2 s^{3} (s + 1) + 3 (s^{2} + 3 s + 6)}{s + 1}$

Étape 8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 s^{2} + \frac{2 s^{3} s + 2 s^{3} \cdot 1 + 3 (s^{2} + 3 s + 6)}{s + 1}$

Étape 8.4.2

Multipliez $s^{3}$ par $s$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.2.1

Déplacez $s$ .

$3 s^{2} + \frac{2 (s \cdot s^{3}) + 2 s^{3} \cdot 1 + 3 (s^{2} + 3 s + 6)}{s + 1}$

Étape 8.4.2.2

Multipliez $s$ par $s^{3}$ .

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Étape 8.4.2.2.1

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$3 s^{2} + \frac{2 (s^{1} s^{3}) + 2 s^{3} \cdot 1 + 3 (s^{2} + 3 s + 6)}{s + 1}$

Étape 8.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 s^{2} + \frac{2 s^{1 + 3} + 2 s^{3} \cdot 1 + 3 (s^{2} + 3 s + 6)}{s + 1}$

Étape 8.4.2.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$3 s^{2} + \frac{2 s^{4} + 2 s^{3} \cdot 1 + 3 (s^{2} + 3 s + 6)}{s + 1}$

Étape 8.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 s^{2} + \frac{2 s^{4} + 2 s^{3} + 3 (s^{2} + 3 s + 6)}{s + 1}$

Étape 8.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 s^{2} + \frac{2 s^{4} + 2 s^{3} + 3 s^{2} + 3 (3 s) + 3 \cdot 6}{s + 1}$

Étape 8.4.5

Simplifiez

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Étape 8.4.5.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$3 s^{2} + \frac{2 s^{4} + 2 s^{3} + 3 s^{2} + 9 s + 3 \cdot 6}{s + 1}$

Étape 8.4.5.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$3 s^{2} + \frac{2 s^{4} + 2 s^{3} + 3 s^{2} + 9 s + 18}{s + 1}$

Étape 8.5

Pour écrire $3 s^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{s + 1}{s + 1}$ .

$\frac{3 s^{2} (s + 1)}{s + 1} + \frac{2 s^{4} + 2 s^{3} + 3 s^{2} + 9 s + 18}{s + 1}$

Étape 8.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 s^{2} (s + 1) + 2 s^{4} + 2 s^{3} + 3 s^{2} + 9 s + 18}{s + 1}$

Étape 8.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 s^{2} s + 3 s^{2} \cdot 1 + 2 s^{4} + 2 s^{3} + 3 s^{2} + 9 s + 18}{s + 1}$

Étape 8.7.2

Multipliez $s^{2}$ par $s$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.7.2.1

Déplacez $s$ .

$\frac{3 (s \cdot s^{2}) + 3 s^{2} \cdot 1 + 2 s^{4} + 2 s^{3} + 3 s^{2} + 9 s + 18}{s + 1}$

Étape 8.7.2.2

Multipliez $s$ par $s^{2}$ .

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Étape 8.7.2.2.1

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (s^{1} s^{2}) + 3 s^{2} \cdot 1 + 2 s^{4} + 2 s^{3} + 3 s^{2} + 9 s + 18}{s + 1}$

Étape 8.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 s^{1 + 2} + 3 s^{2} \cdot 1 + 2 s^{4} + 2 s^{3} + 3 s^{2} + 9 s + 18}{s + 1}$

Étape 8.7.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3 s^{3} + 3 s^{2} \cdot 1 + 2 s^{4} + 2 s^{3} + 3 s^{2} + 9 s + 18}{s + 1}$

Étape 8.7.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 s^{3} + 3 s^{2} + 2 s^{4} + 2 s^{3} + 3 s^{2} + 9 s + 18}{s + 1}$

Étape 8.7.4

Additionnez $3 s^{3}$ et $2 s^{3}$ .

$\frac{5 s^{3} + 3 s^{2} + 2 s^{4} + 3 s^{2} + 9 s + 18}{s + 1}$

Étape 8.7.5

Additionnez $3 s^{2}$ et $3 s^{2}$ .

$\frac{5 s^{3} + 2 s^{4} + 6 s^{2} + 9 s + 18}{s + 1}$

Étape 8.7.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 s^{4} + 5 s^{3} + 6 s^{2} + 9 s + 18}{s + 1}$