Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 2 q - 1 & 1 & 1 \\ q & 1 & q \\ 1 & 1 & 2 q - 1 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 q - 1) | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$(2 q - 1) | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Étape 2

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(2 q - 1) (1 (2 q - 1) - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Multipliez $2 q - 1$ par $1$ .

$(2 q - 1) (2 q - 1 - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Étape 2.2.2

Soustrayez $q$ de $2 q$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (1 (2 q - 1) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $2 q - 1$ par $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 1 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 1 - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Étape 3.2.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (1 q - 1 \cdot 1)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez $q$ par $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1 \cdot 1)$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Développez $(2 q - 1) (q - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 q (q - 1) - 1 (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Étape 5.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 q \cdot q + 2 q \cdot - 1 - 1 (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Étape 5.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 q \cdot q + 2 q \cdot - 1 - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Étape 5.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.1.1

Multipliez $q$ par $q$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.2.1.1.1

Déplacez $q$ .

$2 (q \cdot q) + 2 q \cdot - 1 - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Étape 5.1.2.1.1.2

Multipliez $q$ par $q$ .

$2 q^{2} + 2 q \cdot - 1 - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Étape 5.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 q^{2} - 2 q - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Étape 5.1.2.1.3

Réécrivez $- 1 q$ comme $- q$ .

$2 q^{2} - 2 q - q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Étape 5.1.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 q^{2} - 2 q - q + 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Étape 5.1.2.2

Soustrayez $q$ de $- 2 q$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 q^{2} - 3 q + 1 - q (2 q) - q \cdot - 2 + 1 (q - 1)$

Étape 5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 q \cdot q - q \cdot - 2 + 1 (q - 1)$

Étape 5.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 q \cdot q + 2 q + 1 (q - 1)$

Étape 5.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.6.1

Multipliez $q$ par $q$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.6.1.1

Déplacez $q$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 (q \cdot q) + 2 q + 1 (q - 1)$

Étape 5.1.6.1.2

Multipliez $q$ par $q$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 q^{2} + 2 q + 1 (q - 1)$

Étape 5.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 2 q^{2} + 2 q + 1 (q - 1)$

Étape 5.1.7

Multipliez $q - 1$ par $1$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 2 q^{2} + 2 q + q - 1$

Étape 5.2

Associez les termes opposés dans $2 q^{2} - 3 q + 1 - 2 q^{2} + 2 q + q - 1$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $2 q^{2}$ de $2 q^{2}$ .

$- 3 q + 1 + 0 + 2 q + q - 1$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 3 q + 1$ et $0$ .

$- 3 q + 1 + 2 q + q - 1$

Étape 5.2.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$- 3 q + 2 q + q + 0$

Étape 5.2.4

Additionnez $- 3 q + 2 q + q$ et $0$ .

$- 3 q + 2 q + q$

Étape 5.3

Additionnez $- 3 q$ et $2 q$ .

$- q + q$

Étape 5.4

Additionnez $- q$ et $q$ .

$0$