Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & a & b + c \\ 1 & b & a + c \\ 1 & c & a + b \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- a | \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$- c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$- a | \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} | + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Étape 2

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- a (1 (a + b) - (a + c)) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Multipliez $a + b$ par $1$ .

$- a (a + b - (a + c)) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- a (a + b - a - c) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Étape 2.2.2

Associez les termes opposés dans $a + b - a - c$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Soustrayez $a$ de $a$ .

$- a (b + 0 - c) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $b$ et $0$ .

$- a (b - c) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- a (b - c) + b (1 (a + b) - (b + c)) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Multipliez $a + b$ par $1$ .

$- a (b - c) + b (a + b - (b + c)) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- a (b - c) + b (a + b - b - c) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Étape 3.2.2

Associez les termes opposés dans $a + b - b - c$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Soustrayez $b$ de $b$ .

$- a (b - c) + b (a + 0 - c) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $a$ et $0$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (1 (a + c) - (b + c))$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Multipliez $a + c$ par $1$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a + c - (b + c))$

Étape 4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a + c - b - c)$

Étape 4.2.2

Associez les termes opposés dans $a + c - b - c$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Soustrayez $c$ de $c$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a - b + 0)$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $a - b$ et $0$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a - b)$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- a b - a (- c) + b (a - c) - c (a - b)$

Étape 5.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- a b - 1 \cdot - 1 a c + b (a - c) - c (a - b)$

Étape 5.1.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- a b + 1 a c + b (a - c) - c (a - b)$

Étape 5.1.3.2

Multipliez $a$ par $1$ .

$- a b + a c + b (a - c) - c (a - b)$

Étape 5.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- a b + a c + b a + b (- c) - c (a - b)$

Étape 5.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- a b + a c + b a - b c - c (a - b)$

Étape 5.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$- a b + a c + b a - b c - c a - c (- b)$

Étape 5.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- a b + a c + b a - b c - c a - 1 \cdot - 1 c b$

Étape 5.1.8

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- a b + a c + b a - b c - c a + 1 c b$

Étape 5.1.8.2

Multipliez $c$ par $1$ .

$- a b + a c + b a - b c - c a + c b$

Étape 5.2

Associez les termes opposés dans $- a b + a c + b a - b c - c a + c b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $- a b$ et $b a$ .

$- a b + a c + a b - b c - c a + c b$

Étape 5.2.2

Additionnez $- a b$ et $a b$ .

$a c + 0 - b c - c a + c b$

Étape 5.2.3

Additionnez $a c$ et $0$ .

$a c - b c - c a + c b$

Étape 5.2.4

Réorganisez les facteurs dans les termes $a c$ et $- c a$ .

$a c - b c - a c + c b$

Étape 5.2.5

Soustrayez $a c$ de $a c$ .

$- b c + 0 + c b$

Étape 5.2.6

Additionnez $- b c$ et $0$ .

$- b c + c b$

Étape 5.2.7

Réorganisez les facteurs dans les termes $- b c$ et $c b$ .

$- b c + b c$

Étape 5.2.8

Additionnez $- b c$ et $b c$ .

$0$