Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} a^{2} & a & 1 \\ b^{2} & b & 1 \\ c^{2} & c & 1 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} b & 1 \\ c & 1 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a^{2} | \begin{array}{c} b & 1 \\ c & 1 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & 1 \\ c & 1 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- b^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ c & 1 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$a^{2} | \begin{array}{c} b & 1 \\ c & 1 \end{array} | - b^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ c & 1 \end{array} | + c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Étape 2

Évaluez $| \begin{array}{c} b & 1 \\ c & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a^{2} (b \cdot 1 - c \cdot 1) - b^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ c & 1 \end{array} | + c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Multipliez $b$ par $1$ .

$a^{2} (b - c \cdot 1) - b^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ c & 1 \end{array} | + c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$a^{2} (b - c) - b^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ c & 1 \end{array} | + c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} a & 1 \\ c & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a^{2} (b - c) - b^{2} (a \cdot 1 - c \cdot 1) + c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Multipliez $a$ par $1$ .

$a^{2} (b - c) - b^{2} (a - c \cdot 1) + c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$a^{2} (b - c) - b^{2} (a - c) + c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a^{2} (b - c) - b^{2} (a - c) + c^{2} (a \cdot 1 - b \cdot 1)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez $a$ par $1$ .

$a^{2} (b - c) - b^{2} (a - c) + c^{2} (a - b \cdot 1)$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$a^{2} (b - c) - b^{2} (a - c) + c^{2} (a - b)$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$a^{2} b + a^{2} (- c) - b^{2} (a - c) + c^{2} (a - b)$

Étape 5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{2} b - a^{2} c - b^{2} (a - c) + c^{2} (a - b)$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$a^{2} b - a^{2} c - b^{2} a - b^{2} (- c) + c^{2} (a - b)$

Étape 5.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{2} b - a^{2} c - b^{2} a - 1 \cdot - 1 b^{2} c + c^{2} (a - b)$

Étape 5.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a^{2} b - a^{2} c - b^{2} a + 1 b^{2} c + c^{2} (a - b)$

Étape 5.5.2

Multipliez $b^{2}$ par $1$ .

$a^{2} b - a^{2} c - b^{2} a + b^{2} c + c^{2} (a - b)$

Étape 5.6

Appliquez la propriété distributive.

$a^{2} b - a^{2} c - b^{2} a + b^{2} c + c^{2} a + c^{2} (- b)$

Étape 5.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{2} b - a^{2} c - b^{2} a + b^{2} c + c^{2} a - c^{2} b$