Algèbre linéaire Exemples

$| 1 | [\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$1 [\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 2

Multipliez $1$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot - 1 \\ 1 \cdot - 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot - 1 \\ 1 \cdot - 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot - 1 \\ 1 \cdot - 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 \cdot - 1 \\ 1 \cdot - 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ 1 \cdot - 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.7

Multipliez $1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.8

Multipliez $1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.9

Multipliez $1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.10

Multipliez $1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \cdot - 1 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.12

Multipliez $1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.13

Multipliez $1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.14

Multipliez $1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.15

Multipliez $1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.16

Multipliez $1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 4

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 4.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 4.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 4.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 4.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 4.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 4.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 4.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 4.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 4.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 4.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 4.11

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.1.9

Add the terms together.

$1 (- 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- 1 (- 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 (- 1 (- 1 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 (- 1 (- 1 - 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$1 (- 1 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 5.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- 1 \cdot - 2 - 1 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 (- 1 \cdot - 2 - 1 (1 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 (- 1 \cdot - 2 - 1 (1 - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$1 (- 1 \cdot - 2 - 1 \cdot 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- 1 \cdot - 2 - 1 \cdot 0 + 1 (1 \cdot 1 - 1 \cdot - 1)) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 (- 1 \cdot - 2 - 1 \cdot 0 + 1 (1 - 1 \cdot - 1)) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (- 1 \cdot - 2 - 1 \cdot 0 + 1 (1 + 1)) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.4.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 (- 1 \cdot - 2 - 1 \cdot 0 + 1 \cdot 2) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$1 (2 - 1 \cdot 0 + 1 \cdot 2) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$1 (2 + 0 + 1 \cdot 2) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.5.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 (2 + 0 + 2) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.5.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$1 (2 + 2) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$1 \cdot 4 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 6.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 6.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 6.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 6.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.1.9

Add the terms together.

$1 \cdot 4 + 1 (- 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 4 + 1 (- 1 (- 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 (- 1 (- 1 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 (- 1 (- 1 - 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$1 \cdot 4 + 1 (- 1 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 4 + 1 (- 1 \cdot - 2 - 1 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 (- 1 \cdot - 2 - 1 (1 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 (- 1 \cdot - 2 - 1 (1 - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.3.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 (- 1 \cdot - 2 - 1 \cdot 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 4 + 1 (- 1 \cdot - 2 - 1 \cdot 0 + 1 (1 \cdot 1 - 1 \cdot - 1)) - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 (- 1 \cdot - 2 - 1 \cdot 0 + 1 (1 - 1 \cdot - 1)) - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \cdot 4 + 1 (- 1 \cdot - 2 - 1 \cdot 0 + 1 (1 + 1)) - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.4.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 (- 1 \cdot - 2 - 1 \cdot 0 + 1 \cdot 2) - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$1 \cdot 4 + 1 (2 - 1 \cdot 0 + 1 \cdot 2) - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$1 \cdot 4 + 1 (2 + 0 + 1 \cdot 2) - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.5.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 (2 + 0 + 2) - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.5.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$1 \cdot 4 + 1 (2 + 2) - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 7.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 7.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.1.9

Add the terms together.

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 (- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 (- 1 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 (- 1 (1 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 (- 1 (1 - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 (- 1 \cdot 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 (- 1 \cdot 0 + 1 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 (- 1 \cdot 0 + 1 (1 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 (- 1 \cdot 0 + 1 (1 - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.3.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 (- 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 (- 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1)) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 (- 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 (1 - 1 \cdot 1)) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 (- 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 (1 - 1)) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.4.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 (- 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 (0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.5.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 (0 + 0 + 1 \cdot 0) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.5.1.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 (0 + 0 + 0) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.5.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 (0 + 0) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.5.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 8

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 8.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 8.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 8.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 8.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 8.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 8.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 8.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 8.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 8.1.9

Add the terms together.

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 1 (- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Étape 8.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 1 (- 1 (1 \cdot 1 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Étape 8.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 1 (- 1 (1 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Étape 8.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 1 (- 1 (1 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 1 (- 1 \cdot 2 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Étape 8.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 1 (- 1 \cdot 2 + 1 (1 \cdot 1 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Étape 8.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 1 (- 1 \cdot 2 + 1 (1 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Étape 8.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 1 (- 1 \cdot 2 + 1 (1 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Étape 8.3.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 1 (- 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Étape 8.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 8.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 1 (- 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 1 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1))$

Étape 8.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.4.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 1 (- 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 1 (1 - 1 \cdot 1))$

Étape 8.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 1 (- 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 1 (1 - 1))$

Étape 8.4.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 1 (- 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0)$

Étape 8.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 1 (- 2 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0)$

Étape 8.5.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 1 (- 2 + 2 + 1 \cdot 0)$

Étape 8.5.1.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 1 (- 2 + 2 + 0)$

Étape 8.5.2

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 1 (0 + 0)$

Étape 8.5.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0$

Étape 9

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0$

Étape 9.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + 4 - 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$4 + 4 + 0 + 1 \cdot 0$

Étape 9.1.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$4 + 4 + 0 + 0$

Étape 9.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$8 + 0 + 0$

Étape 9.3

Additionnez $8$ et $0$ .

$8 + 0$

Étape 9.4

Additionnez $8$ et $0$ .

$8$