Algèbre linéaire Exemples

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1$ , $x (2 y - 5) - 2 y (x + 3) = 2 x + 1$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, x (2 y) + x \cdot - 5 - 2 y (x + 3) = 2 x + 1$

Étape 1.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, 2 x y + x \cdot - 5 - 2 y (x + 3) = 2 x + 1$

Étape 1.1.3

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, 2 x y - 5 \cdot x - 2 y (x + 3) = 2 x + 1$

Étape 1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, 2 x y - 5 x - 2 y x - 2 y \cdot 3 = 2 x + 1$

Étape 1.1.5

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, 2 x y - 5 x - 2 y x - 6 y = 2 x + 1$

Étape 1.2

Associez les termes opposés dans $2 x y - 5 x - 2 y x - 6 y$ .

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Étape 1.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 x y$ et $- 2 y x$ .

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, 2 x y - 5 x - 2 x y - 6 y = 2 x + 1$

Étape 1.2.2

Soustrayez $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, - 5 x + 0 - 6 y = 2 x + 1$

Étape 1.2.3

Additionnez $- 5 x$ et $0$ .

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, - 5 x - 6 y = 2 x + 1$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, - 5 x - 6 y - 2 x = 1$

Étape 2.2

Soustrayez $2 x$ de $- 5 x$ .

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, - 7 x - 6 y = 1$

Étape 3

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 y - 2} & 0 & 1 \\ - 7 & - 6 & 1 \end{array}]$

Étape 4

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $3 y - 2$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $3 y - 2$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} (3 y - 2) \frac{1}{3 y - 2} & (3 y - 2) \cdot 0 & (3 y - 2) \cdot 1 \\ - 7 & - 6 & 1 \end{array}]$

Étape 4.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 y - 2 \\ - 7 & - 6 & 1 \end{array}]$

Étape 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 7 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 7 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 y - 2 \\ - 7 + 7 \cdot 1 & - 6 + 7 \cdot 0 & 1 + 7 (3 y - 2) \end{array}]$

Étape 4.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 y - 2 \\ 0 & - 6 & 21 y - 13 \end{array}]$

Étape 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 y - 2 \\ - \frac{1}{6} \cdot 0 & - \frac{1}{6} \cdot - 6 & - \frac{1}{6} (21 y - 13) \end{array}]$

Étape 4.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 y - 2 \\ 0 & 1 & - \frac{7 y}{2} + \frac{13}{6} \end{array}]$

Étape 5

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x = 3 y - 2$

$y = - \frac{7 y}{2} + \frac{13}{6}$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 6.1

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1.1

Ajoutez $\frac{7 y}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y + \frac{7 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Étape 6.1.2

Pour écrire $y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Étape 6.1.3

Associez $y$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y \cdot 2}{2} + \frac{7 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Étape 6.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y \cdot 2 + 7 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Étape 6.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{2 \cdot y + 7 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Étape 6.1.5.2

Additionnez $2 y$ et $7 y$ .

$\frac{9 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

$\frac{9 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

$\frac{9 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9} \cdot \frac{9 y}{2} = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Étape 6.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Simplifiez $\frac{2}{9} \cdot \frac{9 y}{2}$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{9} \cdot \frac{9 y}{2} = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Étape 6.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{9} \cdot (9 y) = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

$\frac{1}{9} \cdot (9 y) = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Étape 6.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 6.3.1.1.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9 y$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 (y)) = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Étape 6.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{9} \cdot (9 y) = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Étape 6.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez $\frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{2 (3)}$

$x = 3 y - 2$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{2 \cdot 3}$

$x = 3 y - 2$

Étape 6.3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{9} \cdot \frac{13}{3}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{1}{9} \cdot \frac{13}{3}$

$x = 3 y - 2$

Étape 6.3.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{13}{3}$ .

$y = \frac{13}{9 \cdot 3}$

$x = 3 y - 2$

Étape 6.3.2.1.3

Multipliez $9$ par $3$ .

$y = \frac{13}{27}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{13}{27}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{13}{27}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{13}{27}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{13}{27}$

$x = 3 y - 2$

Étape 7

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(3 y - 2, \frac{13}{27})$

Étape 8

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 y - 2 \\ \frac{13}{27} \end{array}]$