Algèbre linéaire Exemples

$f (x) = - 2 x^{2} + 9 x + 1$

Étape 1

Le maximum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est négatif, la valeur maximale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{9}{2 (- 2)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{9}{2 (- 2)}$

Étape 2.3

Simplifiez $- \frac{9}{2 (- 2)}$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x = - \frac{9}{- 4}$

Étape 2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - - \frac{9}{4}$

Étape 2.3.3

Multipliez $- - \frac{9}{4}$ .

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 (\frac{9}{4})$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $1$ .

$x = \frac{9}{4}$

Étape 3

Évaluez $f (\frac{9}{4})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{9}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{9}{4}) = - 2 {(\frac{9}{4})}^{2} + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{9}{4}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - 2 \frac{9^{2}}{4^{2}} + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Étape 3.2.1.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = - 2 \frac{81}{4^{2}} + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Étape 3.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = - 2 (\frac{81}{16}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Étape 3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{9}{4}) = 2 (- 1) (\frac{81}{16}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Étape 3.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (\frac{9}{4}) = 2 \cdot (- 1 \frac{81}{2 \cdot 8}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Étape 3.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9}{4}) = 2 \cdot (- 1 \frac{81}{2 \cdot 8}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Étape 3.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9}{4}) = - 1 (\frac{81}{8}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Étape 3.2.1.5

Réécrivez $- 1 (\frac{81}{8})$ comme $- (\frac{81}{8})$ .

$f (\frac{9}{4}) = - (\frac{81}{8}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $9 (\frac{9}{4})$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Associez $9$ et $\frac{9}{4}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{9 \cdot 9}{4} + 1$

Étape 3.2.1.6.2

Multipliez $9$ par $9$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81}{4} + 1$

Étape 3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $\frac{81}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81}{4} \cdot \frac{2}{2} + 1$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{81}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Étape 3.2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Étape 3.2.2.4

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 3.2.2.5

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{8}{8}$

Étape 3.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{8}{8}$

Étape 3.2.2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{8} + \frac{8}{8}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{9}{4}) = \frac{- 81 + 81 \cdot 2 + 8}{8}$

Étape 3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $81$ par $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{- 81 + 162 + 8}{8}$

Étape 3.2.4.2

Additionnez $- 81$ et $162$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81 + 8}{8}$

Étape 3.2.4.3

Additionnez $81$ et $8$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{89}{8}$

Étape 3.2.5

La réponse finale est $\frac{89}{8}$ .

$\frac{89}{8}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le maximum.

$(\frac{9}{4}, \frac{89}{8})$

Étape 5