Algèbre linéaire Exemples

$3 x^{2} - 2 x + 1 < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 2$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.7

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Étape 7

Identifiez le coefficient directeur.

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Étape 7.1

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$3 x^{2}$

Étape 7.2

Le coefficient directeur dans un polynôme est le coefficient du terme principal.

$3$

Étape 8

Comme il n’y a pas d’abscisse à l’origine réelle et comme le coefficient directeur est positif, le parabole ouvre vers le haut et $3 x^{2} - 2 x + 1$ est toujours supérieur à $0$ .

Aucune solution