Algèbre linéaire Exemples

${(3)}^{2} a + 3 b + c = 4$ , ${(5)}^{2} a + 5 b + c = 4$ , ${(2)}^{2} a + 2 b + c = 1$

Étape 1

Déplacez les variables du côté gauche et les termes constants du côté droit.

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Étape 1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$9 a + 3 b + c = 4$

${(5)}^{2} a + 5 b + c = 4$

${(2)}^{2} a + 2 b + c = 1$

Étape 1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$9 a + 3 b + c = 4$

$25 a + 5 b + c = 4$

${(2)}^{2} a + 2 b + c = 1$

Étape 1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$9 a + 3 b + c = 4$

$25 a + 5 b + c = 4$

$4 a + 2 b + c = 1$

$9 a + 3 b + c = 4$

$25 a + 5 b + c = 4$

$4 a + 2 b + c = 1$

Étape 2

Écrivez le système comme une matrice.

$[\begin{array}{c} 9 & 3 & 1 & 4 \\ 25 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{9}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{9}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{9} & \frac{3}{9} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 25 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 3.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 25 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 3.2

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 25 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

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Étape 3.2.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 25 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 25 - 25 \cdot 1 & 5 - 25 (\frac{1}{3}) & 1 - 25 (\frac{1}{9}) & 4 - 25 (\frac{4}{9}) \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & - \frac{10}{3} & - \frac{16}{9} & - \frac{64}{9} \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

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Étape 3.3.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & - \frac{10}{3} & - \frac{16}{9} & - \frac{64}{9} \\ 4 - 4 \cdot 1 & 2 - 4 (\frac{1}{3}) & 1 - 4 (\frac{1}{9}) & 1 - 4 (\frac{4}{9}) \end{array}]$

Étape 3.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & - \frac{10}{3} & - \frac{16}{9} & - \frac{64}{9} \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{5}{9} & - \frac{7}{9} \end{array}]$

Étape 3.4

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{3}{10}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{3}{10}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ - \frac{3}{10} \cdot 0 & - \frac{3}{10} (- \frac{10}{3}) & - \frac{3}{10} (- \frac{16}{9}) & - \frac{3}{10} (- \frac{64}{9}) \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{5}{9} & - \frac{7}{9} \end{array}]$

Étape 3.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{5}{9} & - \frac{7}{9} \end{array}]$

Étape 3.5

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - \frac{2}{3} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

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Étape 3.5.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - \frac{2}{3} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & \frac{5}{9} - \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{15} & - \frac{7}{9} - \frac{2}{3} \cdot \frac{32}{15} \end{array}]$

Étape 3.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} & - \frac{11}{5} \end{array}]$

Étape 3.6

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $5$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

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Étape 3.6.1

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $5$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 5 \cdot 0 & 5 \cdot 0 & 5 (\frac{1}{5}) & 5 (- \frac{11}{5}) \end{array}]$

Étape 3.6.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Étape 3.7

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - \frac{8}{15} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

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Étape 3.7.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - \frac{8}{15} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 - \frac{8}{15} \cdot 0 & 1 - \frac{8}{15} \cdot 0 & \frac{8}{15} - \frac{8}{15} \cdot 1 & \frac{32}{15} - \frac{8}{15} \cdot - 11 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Étape 3.7.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Étape 3.8

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{9} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

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Étape 3.8.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{9} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{9} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{9} \cdot 0 & \frac{1}{9} - \frac{1}{9} \cdot 1 & \frac{4}{9} - \frac{1}{9} \cdot - 11 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Étape 3.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{5}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Étape 3.9

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 3.9.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Étape 3.9.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Étape 4

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.

$a = - 1$

$b = 8$

$c = - 11$

Étape 5

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(- 1, 8, - 11)$