Algèbre linéaire Exemples

$y + x = - 2$ , $3 + x = 3 - 2 y$

Étape 1

Move all of the variables to the left side of each equation.

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Étape 1.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$x + y = - 2$

$3 + x = 3 - 2 y$

Étape 1.2

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$x + y = - 2$

$3 + x + 2 y = 3$

Étape 1.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas de variable du côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x + y = - 2$

$x + 2 y = 3 - 3$

Étape 1.3.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$x + y = - 2$

$x + 2 y = 0$

$x + y = - 2$

$x + 2 y = 0$

$x + y = - 2$

$x + 2 y = 0$

Étape 2

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]$

Étape 3

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}]$ .

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Étape 3.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 3.2

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 2 - 1 \cdot 1$

Étape 3.3

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - 1 \cdot 1$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 - 1$

Étape 3.3.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$1$

$D = 1$

Étape 4

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Étape 5

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Étape 5.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$

Étape 5.2

Find the determinant.

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Étape 5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 \cdot 2 + 0 \cdot 1$

Étape 5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 4 + 0 \cdot 1$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$- 4 + 0$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$- 4$

$D_{x} = - 4$

Étape 5.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Étape 5.4

Substitute $1$ for $D$ and $- 4$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 4}{1}$

Étape 5.5

Divisez $- 4$ par $1$ .

$x = - 4$

Étape 6

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Étape 6.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 6.2

Find the determinant.

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Étape 6.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$

Étape 6.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 - 1 \cdot - 2$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$0 + 2$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

$D_{y} = 2$

Étape 6.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Étape 6.4

Substitute $1$ for $D$ and $2$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{2}{1}$

Étape 6.5

Divisez $2$ par $1$ .

$y = 2$

Étape 7

Indiquez la solution au système d’équations.

$x = - 4$

$y = 2$